In matematica, l'-esimo polinomio ciclotomico, per ogni intero positivo , è l'unico polinomio irriducibile a coefficienti interi che divide ma non divide per tutti i . Le sue radici sono tutte le radici n-esime primitive dell'unità con intero positivo minore di e coprimo ad esso. Si può quindi scrivere come:
Alternativamente, può essere definito come il polinomio monico a coefficienti interi che è il polinomio minimo sul campo dei razionali di qualunque radice n-esime primitiva dell'unità.
Proprietà I polinomi ciclotomici sono polinomi monici a coefficienti interi che sono irriducibili sul campo dei razionali. Eccetto per uguale a 1 o 2, sono palindromi di grado pari.
Il grado di , ossia il numero di radici -esime primitive dell'unità, è , dove indica la funzione di Eulero.
Una relazione importante che lega i polinomi ciclotomici e le radici primitive dell'unità è
mostrando che è radice del polinomio se e solo se è una radice -esima primitiva dell'unità per qualche che divide .
Applicando la formula di inversione di Möbius si ottiene
dove è la funzione di Möbius.
Da questo risultato si ricava una relazione di ricorrenza per il polinomio ciclotomico , che può essere calcolato dividendo per i polinomi ciclotomici con divisore proprio di , a partire da :
La formula offre un algoritmo per calcolare qualunque , supponendo che siano disponibili la fattorizzazione intera e la divisione polinomiale. Molti sistemi di algebra computazionale, come Sage, Maple e Mathematica presentano funzioni interne per calcolare questi polinomi.
Computazioni veloci Usando la formula precedente, se numero primo, allora
Sostituendo a un qualunque numero naturale , è una repunit in base : segue che se un repunit è un numero primo allora la sua lunghezza in cifre è un numero primo. In generale, i valori assunti dai polinomi ciclotomici sugli interi sono soggetti a numerose altre limitazioni; ad esempio, se è primo e , allora oppure .
Altri casi particolari sono:
, per dispari; , per primo; , per con fattori distinti; , per un qualsiasi primo tale che .
Interi che appaiono come coefficienti Il problema di trovare la grandezza dei coefficienti dei polinomi ciclotomici è stato oggetto di molte pubblicazioni.
Se ha al massimo due fattori primi dispari distanti, allora Migottie e A. S. Bang hanno dimostrato che i coefficienti di appartengono all'insieme . Il primo polinomio il cui n è prodotto di tre diversi primi dispari è che ha coefficiente -2. L'inverso non è vero: ha coefficienti solo in ,
Sia il massimo valore assoluto dei coefficienti di . È noto che per ogni intero positivo , il numero di minori di tali che è almeno con positivo ed sufficientemente grande. Nella direzione opposta, per ogni funzione tendente a infinito, si ha limitata superiormente da per quasi tutti gli .
Un insieme di teoremi di Bateman e Vaughan affermano che:
per ogni e per ogni sufficientemente grande, ; per infiniti positivi, .
Questo implica che i polinomi a una variabile (concretamente per infiniti interi positivi) possono avere fattori (come ) i cui coefficienti sono superpolinomialmente maggiori dei coefficienti originali, risultato non troppo distante dal più generale limite di Landau-Mignotte.
Elenco di polinomi ciclotomici I primi polinomi ciclotomici sono:
Sempre sui coefficienti dei polinomi ciclotomici, si dimostra per induzione che il termine noto di , per ogni , è esattamente .
Note
Voci correlate Radice dell'unità Estensione ciclotomica Collegamenti esterni
Categoria:Polinomi speciali