Lo spaziotempo di Schwarzschild o metrica di Schwarzschild è una soluzione delle equazioni di campo di Einstein nel vuoto che descrive lo spaziotempo attorno a una massa a simmetria sferica, non rotante e priva di carica elettrica. È stata la prima soluzione esatta trovata per la relatività generale,Karl Schwarzschild, On the gravitational field of a sphere of incompressible fluid according to Einstein's theory, Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin (Math. Phys.) 1916 (1916), pagg. 424-434. proposta da Karl Schwarzschild pochi mesi dopo la pubblicazione della teoria.Albert Einstein, Zur allgemeinen Relativitatstheorie, Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften (1915) 778, Addendum-ibid. (1915) 799.

Matematicamente, rappresenta la geometria di uno spazio-tempo statico e a simmetria sferica. Anzi, come dimostrato dal teorema di Birkhoff,George David Birkhoff, Relativity and Modern Physics, Cambrigdge 1923, MA: Harvard University Press. LCCN 23008297 la staticità è una conseguenza della simmetria sferica e quella di Schwarzschild è la soluzione più generale che soddisfa queste due richieste.

Benché sia un'approssimazione (praticamente tutti i corpi celesti ruotano, Sole compreso), trova vaste applicazioni. I moti planetari attorno al Sole, ad esempio, che nella teoria della gravitazione newtoniana erano descrittiIn prima approssimazione, trascurando l'attrazione fra pianeti. come moti in un campo di forze centrali, per cui erano valide le leggi di Keplero, sono descritti dalla relatività generale come moti di masse di prova (ossia moti geodetici) nello spazio-tempo di Schwarzschild. In particolare, se nella teoria kepleriana le orbite dei pianeti erano ellissi, in quella relativistica sono rosette (per approfondire si veda oltre) ed esibiscono una precessione dell'asse dell'orbita, che era stata osservata già tra il '700 e l'800 e non era spiegabile nel quadro newtoniano. In particolare i calcoli di Le Verrier, lo scopritore teorico, insieme con Adams, del pianeta Nettuno, sfruttando la teoria delle perturbazioni secolari, riuscivano a spiegare quasi tutta la precessione osservata, tranne un residuo di meno di 50 secondi d'arco per secolo per il pianeta Mercurio. Il calcolo esatto permesso dalla soluzione di Schwarzschild per l'angolo di precessione di Mercurio rafforzò la prima prova a sostegno della teoria della relatività costituita dal calcolo approssimato ad opera dello stesso Einstein.

La soluzione di Schwarzschild è anche all'origine di una delle idee della fisica che più fortemente hanno stimolato l'immaginario collettivo, prestandosi spesso a speculazioni fantascientifiche: il buco nero. Come sarà mostrato meglio in seguito, se il corpo sorgente del campo gravitazionale è abbastanza denso, la soluzione di Schwarzschild prevede che attorno alla sorgente, a una distanza nota come raggio di Schwarzschild, esista una superficie ideale, detta orizzonte degli eventi che divide lo spazio-tempo in due regioni non connesse causalmente,In breve ciò vuol dire che gli osservatori di una regione non possono in alcun modo vedere quello avviene nell'altra. Si veda la bibliografia, con particolare riferimento a S.W. Hawking. e che funziona come una membrana unidirezionale: tutto può entrare ma niente può uscire.Se si tiene conto di effetti quantistici, questa affermazione non è del tutto vera, si veda radiazione di Hawking.

In particolare neppure la luce, una volta entrata nel volume racchiuso dall'orizzonte degli eventi, potrà più allontanarsene, e continuerà inesorabilmente a orbitare, inanellando giri attorno alla massa centrale. Poiché la luce non riesce a sfuggire dall'oggetto, John Archibald Wheeler, in un'intervista del 1968, per farsi capire dal giornalista, si espresse con un paragone: se l'oggetto si trovasse a passare davanti allo sfondo pieno di stelle della nostra galassia, l'osservatore sulla Terra non potrebbe vedere l'astro, ma vedrebbe nella sua posizione un "buco nero" rispetto allo sfondo luminoso. Da allora venne adottato questo termine, mentre il termine preciso è singolarità gravitazionale.

Generalità Se si introducono coordinate locali sferiche, e una coordinata temporale, la metrica si scrive (si usa qui una metrica di segnatura (1,3), ossia (+ - - -)):

ove con si indica la massa della sorgente, con la costante di gravitazione universale e con la velocità della luce. Si noti che per , si ritrova lo spaziotempo di Minkowski; per , invece, la metrica di Minkowski si ottiene asintoticamente per .

La scelta delle coordinate sferiche appare la più naturale, viste le simmetrie del problema, ma le componenti della metrica risultano singolari per . Nel corso degli anni sono stati introdotti differenti sistemi di coordinate locali, per mettere in mostra determinate caratteristiche della geometria dello spazio-tempo.

La metrica espressa in coordinate sferiche è indipendente dalle coordinate e : questo comporta l'esistenza di due campi vettoriali, detti di Killing, che corrispondono ad altrettante simmetrie dello spazio-tempo e quantità conservate.

Per la precisione la -invarianza comporta un'invarianza per traslazioni temporali, garantendo la conservazione dell'energia; la -invarianza comporta invece l'invarianza per rotazioni rispetto all'asse , conservando il momento angolare rispetto a tale asse.

È possibile scrivere la metrica in forma matriciale:

Essa è singolare nei punti ove è singolare la matrice . Per la metrica di Schwarzschild ciò avviene quando

Nel primo caso la singolarità è eliminabile cambiando coordinate (passando ad esempio alle coordinate di Kruskal, si veda oltre). Il valore è noto come raggio di Schwarzschild (ovvero la distanza dal centro della stella a cui si forma l'orizzonte degli eventi). Il fatto che tale singolarità sia dovuta solo a una cattiva scelta delle coordinate è verificato facilmente sapendo ad esempio che gli invarianti di curvatura non sono ivi divergenti, notando che le geodetiche possono essere prolungate attraverso l'orizzonte degli eventi, oppure considerando che il determinante della matrice non è divergente nel punto specificato. Nel secondo caso, viceversa, si tratta di una singolarità non eliminabile e corrisponde a una curvatura infinita dello spazio-tempo (gli invarianti di curvatura sono ivi divergenti), spesso raffigurata come un imbuto nel tessuto spazio-temporale.

Soluzione La soluzione dell'equazione di campo di Einstein nel vuoto per la metrica, nelle sue componenti , parte sfruttando le condizioni poste sul problema. Consideriamo di poter scegliere un sistema di coordinate in cui la coordinata corrisponda alla coordinata temporale , mentre le coordinate siano le coordinate spaziali cartesiane. A questo punto sfruttando la simmetria sferica del problema le coordinate spaziali soddisfano l'invarianza rotazionale:

Per mezzo della scelta di un sistema di coordinate sferico l'invarianza rotazionale permette di scrivere la metrica in linea generale come:

dove sono funzioni arbitrarie della sola coordinata radiale.

Il termine (equivalente a per la simmetria del tensore metrico) non è invariante sotto un'inversione temporale allora si può riscalare la coordinata temporale in modo da eliminare tale termine della metrica:

dove la funzione è arbitrariamente scelta per, come detto, eliminare il termine della metrica richiesto. Introducendo la funzione la metrica diventa:

Introduco anche per la coordinata radiale una riscalatura per mezzo del cambio di coordinate:

che permette di scrivere la metrica in forma diagonale:

Per semplicità di notazione chiamo le coordinate barrate senza la barra sopra e definisco una funzione incognita che racchiude il termine della metrica, allora:

La metrica trovata da considerazioni geometriche sul problema va risolta calcolando esplicitamente le funzioni incognite e ; ciò è fatto risolvendo l'equazione di campo di Einstein partendo dal calcolarsi i coefficienti della connessione di Levi-Civita (i simboli di Christoffel):

dove i termini riportati sono solo quelli non nulli.

Noti i coefficienti , calcolo i termini del tensore di Riemann per mezzo dei quali ottengo i termini del tensore di Ricci. Volendo risolvere l'equazione di campo nel vuoto allora i termini del tensore di Ricci vanno eguagliati a zero ottenendo così le quattro equazioni che ci permettono di determinare le funzioni incognite nella metrica:

Divido per l'equazione e analogamente per l'equazione e sommando le due equazioni ottenuto trovo la relazione:

A questo punto sfrutto l'ultima condizione sul problema, ossia che nel limite di distanze molto grandi dalla distribuzione delle sorgenti di massa la metrica tenda alla metrica di Minkowski. La condizione al bordo sulla metrica si esprime come che permette di trovare il valore della costante nella precedente relazione tra le funzioni:

Essendo, per quanto emerso, le due funzioni una l'inverso dell'altra è possibile esprimere i termini del tensore di Ricci nei soli contributi di una funzione (per esempio ), da cui allora sfruttando l'equazione ottengo:

Infine chiamo il valore della costante come che posso determinare nel limite di campo debole posto che il valore del termine della metrica sia:

quindi .

Lo spazio-tempo per sorgenti non troppo dense Si è detto che la soluzione di Schwarzschild assume la sfericità e stazionarietà della massa sorgente. Tale situazione non è molto realistica, visto che praticamente tutti i corpi celesti ruotano, tuttavia lo spazio-tempo di Schwarzschild è un'ottima prima approssimazione (è possibile vederesi veda C.W. Mistern, K.S. Torn, J.A. Wheeler, in bibliografia che il campo gravitazionale prodotto da qualunque sorgente si confonde con quello di Schwarzschild ponendosi abbastanza lontano dal corpo). Essa è adeguata per descrivere lo spazio-tempo attorno a corpi celesti non troppo densi, e permette di spiegare il comportamento di tutti i pianeti attorno al Sole, e dei satelliti attorno ai pianeti; ha consentito di stimare il corretto angolo di deflessione dei raggi luminosi attorno a un corpo celeste, e il ritardo temporale dei segnali che passano in prossimità del sole (effetto ShapiroI.I. Shapiro, Phys. Rev.Let. 13 789 (1964)I.I. Shapiro, G.H. Pettengill, M.E. Ash, M.L. Stone, W.B. Smith, R.P. Ingalls e R.A. Brockelman, Phys. Rev.Let. 20 1265 (1968)I.I. Shapiro, G.H. Pettengill, M.E. Ash, D.B. Campbell, R.B. Dyce, W.B. Smith, R.P. Ingalls e R.F. Jurgens, Phys. Rev.Let. 26 1132 (1971)). La prima verifica sperimentale della bontà della teoria si ebbe con la corretta predizione dell'anomalia sull'angolo di precessione di Mercurio. A questo proposito è possibile con poca matematica derivare questo risultato fondamentale, come segue.

Come già detto, lo spazio-tempo di Schwarzschild possiede due campi vettoriali di Killing, a causa dell'indipendenza della metrica rispetto al tempo e all'angolo φ. Indichiamo tali vettori, in notazione di Cartan, come

È notoSi veda ad es. https://arxiv.org/PS_cache/gr-qc/pdf/9707/9707012v1.pdf che dato un campo di Killing , la quantità fisica conservata a esso associato è data da ove è la quadrivelocità lungo una geodetica, parametrizzata in modo affine da λ. Qui e nel seguito gli indici greci vanno da 0 a 3 e si usa la convenzione di Einstein sugli indici ripetuti;

Nel caso di Schwarzschild si hanno le due grandezze conservate:

e possono essere interpretate come l'energia e il momento angolare lungo la geodetica. Notiamo inoltre che, vista la simmetria dello spazio, una particella la cui orbita (cioè la proiezione spaziale della geodetica) si trovasse a un dato istante in un piano, continuera a muoversi nello stesso piano. Ciò equivale alla possibilità di considerare, per chiarezza e una volta per tutte, un moto sul piano equatoriale, fissando quindi

Possiamo dire qualcosa sull'evoluzione della coordinata radiale ricordando la relazione valida sempre per la quadrivelocità lungo una geodetica: