La teoria algebrica dei numeri è una branca della teoria dei numeri che usa le tecniche dell'algebra astratta per studiare gli interi, i razionali e le loro generalizzazioni. In questo modo, i problemi teorici sui numeri possono essere espressi in termini di proprietà di oggetti algebrici come i campi algebrici di numeri e i loro anelli di interi, i campi finiti, e il campo delle funzioni. Queste proprietà, come se un anello ammetta fattorizzazione unica, il comportamento degli ideali e i gruppi di Galois dei campi, possono risolvere problemi di primaria importanza nella teoria dei numeri, come l'esistenza di soluzioni delle equazioni diofantee.
Storia della teoria algebrica dei numeri Diofanto Le origini della teoria algebrica dei numeri si possono rintracciare nelle equazioni diofantee,Stark, pp. 145–146. che prendono il nome dal matematico alessandrino del III secolo, Diofanto, che le studiò e sviluppò dei metodi per la risoluzione di alcuni tipi di equazioni. Un tipico problema diofanteo è trovare due interi x e y tali che la loro somma e la somma dei loro quadrati siano uguali rispettivamente ad A e B:
L'equazioni diofantee sono state studiate per migliaia di anni. Per esempio, le soluzioni dell'equazione diofantea quadratica x2 + y2 = z2 sono date dalle terne pitagoriche, originariamente risolta dai Babilonesi (c. 1800 a.C.).Aczel, pp. 14–15. Si possono risolvere le equazioni diofantee lineari, come 26x + 65y = 13, utilizzando l'algoritmo di Euclide (c. V secolo a.C.).Stark, pp. 44–47.
L'opera maggiore di Diofanto fu lArithmetica, di cui solo una porzione è sopravvissuta.
Fermat L'ultimo teorema di Fermat fu per la prima volta congetturato da Pierre de Fermat nel 1637 in una copia dellArithmetica, affermando di avere una dimostrazione troppo grande per entrare nel margine del foglio. Non venne pubblicata nessuna dimostrazione valida fino al 1995, nonostante lo sforzo di innumerevoli matematici. Il problema irrisolto stimolò lo sviluppo della teoria algebrica dei numeri durante il XIX secolo e la dimostrazione del teorema di modularità nel secolo successivo.
Gauss Una delle opere fondanti della teoria algebrica dei numeri, il Disquisitiones Arithmeticae (latino: "Indagini aritmetiche") fu il testo di teoria dei numeri scritto da Carl Friedrich Gauss nel 1798, quando Gauss aveva 21 anni, e pubblicato per la prima volta nel 1801. In questo libro Gauss mette insieme i risultati di teoria dei numeri ottenuti da matematici come Fermat, Eulero, Lagrange e Legendre, aggiungendo propri risultati importanti. Prima che il Disquisitiones fosse pubblicato, la teoria dei numeri consisteva in una collezione di teoremi isolati e congetture. Gauss unì le opere dei suoi predecessori e i suoi lavori originali in una struttura sistematica, riempì le lacune, corresse le dimostrazioni delicate ed estese la materia in altri campi.
Il Disquisitiones fu il punto di inizio per il lavoro di altri matematici europei del XIX secolo, come Ernst Kummer, Peter Gustav Lejeune Dirichlet e Richard Dedekind. Molte delle annotazioni di Gauss sono in effetti annunci di ulteriori proprie ricerche, alcune di esse rimaste inedite. Sebbene le annotazioni apparissero criptiche ai suoi contemporanei, ora ci si riconoscono in particolare i semi delle teorie delle funzioni L e della moltiplicazione complessa.
Dirichlet In un paio di articoli del 1838 e del 1839, Peter Gustav Lejeune Dirichlet dimostrò la prima formula di classe numerica, sulle forme quadratiche (dopo rifinita dal suo studente Leopold Kronecker). La formula, definita da Jacobi come un risultato "che tocca il massimo dell'acume umano", aprì la strada a risultati simili su campi numerici più generali. Basandosi sulle proprie ricerche sulla struttura del gruppo delle unità dei campi quadratici, Dirichlet dimostrò il suo teorema delle unità, un risultato fondamentale della teoria algebrica dei numeri.
Fu il primo a utilizzare il principio dei cassetti, un ragionamento elementare di conteggio, nella dimostrazione di un teorema di approssimazione diofantea, il teorema di approssimazione di Dirichlet. Il matematico tedesco pubblicò anche importanti contributi all'ultimo teorema di Fermat, dimostrando i casi n = 5 e n = 14, e alla legge di reciprocità quartica. Il problema del divisore di Dirichlet, in cui trovò i primi risultati, è tuttora un problema irrisolto della teoria dei numeri, nonostante i successivi contributi di altri matematici.
Dedekind Il lavoro di Lejeune Dirichlet indusse Richard Dedekind nel suo successivo studio dei campi algebrici dei numeri e degli ideali. Nel 1863, pubblicò le lezioni di Dirichlet sulla teoria dei numeri con il titolo di Vorlesungen über Zahlentheorie (tedesco: "Lezioni sulla teoria dei numeri"), di cui è stato scritto:
L'edizioni del 1879 e del 1894 inclusero dei supplementi che introducevano la nozione di ideale, fondamentale nella teoria degli anelli (la parola "anello", introdotta successivamente da Hilbert, non appare nell'opera di Dedekind). Dedekind definì un ideale come un sottoinsieme di un insieme di numeri, composto dagli interi algebrici che soddisfano un'equazione polinomiale a coefficienti interi. Il concetto subì ulteriori sviluppi nelle mani di Hilbert e, in particolar modo, di Emmy Noether. Gli ideali generalizzano i numeri ideali di Ernst Eduard Kummer, progettati nel 1843 come tentativo di Kummer per dimostrare l'ultimo teorema di Fermat.
Hilbert David Hilbert unificò il campo della teoria algebrica dei numeri con il suo trattato del 1897, Zahlbericht. Risolse inoltre un importante problema di teoria dei numeri formulato da Waring nel 1770. Come con il teorema di finitezza, Hilbert utilizzò una dimostrazione di esistenza, mostrando che devono esistere delle soluzioni al problema piuttosto che fornire un meccanismo per produrle.Reid, Constance, 1996. Hilbert, Springer, . Hilbert fece una serie di congetture sulla teoria dei campi di classi. I concetti furono molto influenti, e il suo contributi rimane nei nomi del campo delle classi di Hilbert e del simbolo di Hilbert nella teoria dei campi di classi locali. I risultati furono poi dimostrati nel 1930, grazie al lavoro di Teiji Takagi.Questo risultato stabilì Takagi come il primo matematico giapponese di statura internazionale.
Artin Emil Artin in una serie di articoli (1924, 1927, 1930) stabilì la legge di reciprocità che porta il suo nome. Questa legge è un teorema generale nella teoria dei numeri che forma una parte centrale dell'intera teoria dei campi di classi.Helmut Hasse, History of Class Field Theory, in Algebraic Number Theory, pubblicato da Cassels and Frölich, Academic Press, 1967, pp. 266–279 Il termine "legge di reciprocità" si riferisce alla lunga serie di risultati di teoria numerica che Artin generalizza, dalla legge di reciprocità quadratica insieme con quelle di Eisenstein e Kummer fino al prodotto di Hilbert per il simbolo di Hilbert. Il risultato di Artin fornì una soluzione parziale al nono problema di Hilbert.
Teoria moderna Intorno al 1955, i matematici giapponesi Gorō Shimura e Yutaka Taniyama osservarono un possibile collegamento tra due branche della matematica apparentemente distinte, le curve ellittiche e le forme modulari. Il successivo teorema di modularità (a quel tempo conosciuto come congettura di Taniyama–Shimura) afferma che ogni curva ellittica è modulare, cioè può essere associata a un'unica forma modulare.
All'inizio fu rigettato come improbabile o altamente speculativo, e venne preso seriamente in considerazione solo quando il teorico dei numeri André Weil trovò delle prove che supportavano la sua validità, ma nessuna dimostrazione; di conseguenza la "sorprendente"L'ultimo teorema di Fermat, Simon Singh, 1997, congettura fu spesso nota come congettura di Taniyama–Shimura-Weil. Divenne inoltre parte del programma Langlands, una lista di importanti congetture che avevano bisogno di una dimostrazione o una confutazione.
Dal 1993 al 1994, Andrew Wiles dimostrò il teorema di modularità per curve ellittiche semistabili, che, insieme con il teorema di Ribet, fornì una dimostrazione dell'ultimo teorema di Fermat. Quasi tutti i matematici fino ad allora avevano considerato l'ultimo teorema di Fermat e il teorema di modularità entrambi falsi o virtualmente impossibili da dimostrare, anche con i più moderni sviluppi. Wiles annunciò la sua dimostrazione nel giugno del 1993 in una versione che fu presto riconosciuta come invalida a causa di una seria lacuna in un punto chiave. La dimostrazione fu corretta da Wiles, insieme in parte con Richard Taylor; la versione finale fu rilasciata nel settembre 1994 e formalmente pubblicata nel 1995. La dimostrazione usa molte tecniche della geometria algebrica e della teoria dei numeri, e possiede molte ramificazioni in queste branche della matematica. Utilizza inoltre alcune costruzioni standard della geometria algebrica, come la categoria degli schemi e la teoria di Iwasawa, e altre tecniche del XX secolo non disponibili a Fermat.
Concetti di base Fallimento della fattorizzazione unica Un'importante proprietà dell'anello degli interi è quella di soddisfare il teorema fondamentale dell'aritmetica, cioè che ogni intero positivo possiede una fattorizzazione in numeri primi, e quest'ultima è unica a meno dell'ordine dei fattori. Questo può in generale non essere vero in un anello di interi di un campo di numeri .
Un elemento primo è un elemento di tale che se divide un prodotto , allora divide uno dei fattori o . Questa proprietà è strettamente collegata alla primalità degli interi, poiché ogni intero positivo che la soddisfa è o o un numero primo. Tuttavia, questa proprietà è formalmente più debole. Per esempio, non è un numero primo dal momento che è negativo, ma è un elemento primo. Se fossero permesse le fattorizzazioni in elementi primi, allora, perfino negli interi, si avrebbero più fattorizzazioni, come
In generale, se è un'unità, cioè un numero con inverso moltiplicativo in , e se è un elemento primo, allora è anch'esso un elemento primo. Numeri come e sono detti associati. Negli interi, i primi e sono associati, ma solo uno dei due è positivo. La richiesta della positività dei numeri primi seleziona un unico elemento dall'insieme degli elementi primi associati. Quando non è l'insieme dei numeri razionali, tuttavia, non esiste un analogo del concetto di positività. Per esempio, negli interi gaussiani , i numeri e sono associati poiché l'ultimo è il prodotto del primo per , ma non c'è un modo per distinguerli. Questo porta a delle identità come
che dimostrano che, in , non vale la fattorizzazione unica a meno dell'ordine dei fattori. Per questa ragione, si adotta la definizione di fattorizzazione unica usata nei domini a fattorizzazione unica (abbreviati con UFD). In un UFD, ogni elemento possiede una fattorizzazione in irriducibili unica a meno di associati, e a meno dell'ordine dei fattori.
Tuttavia, anche con questa definizione più debole, molti anelli di interi nei campi di numeri non ammettono fattorizzazione unica. C'è un ostacolo algebrico chiamato gruppo delle classi di ideali. Quando il gruppo delle classi di ideali è banale, l'anello è un UFD, altrimenti esiste una distinzione tra elemento primo e elemento irriducibile. Un elemento irriducibile è un elemento tale che se , allora o o è un'unità. Questi sono gli elementi che non possono essere fattorizzati ulteriormente. Ogni elemento in ammette una fattorizzazione in elementi irriducibili, ma potrebbe possederla più di una. Questo è dovuto al fatto che, mentre tutti gli elementi primi sono irriducibili, qualche elemento irriducibile può non essere primo. Per esempio, nell'anello i numeri , e sono irriducibili. Questo significa che il numero 9 ha due fattorizzazioni in elementi irriducibili,