In geometria, con cerchi di Johnson si possono intendere genericamente le tre circonferenze di ugual raggio che si intersecano in un unico punto, realizzando il teorema di Johnson.
right|250pxSpecificatamente alla geometria del triangolo designa, invece, per similitudine, le uniche tre circonferenze uguali al circumcerchio, che si intersecano contemporaneamente nel suo ortocentro e passano per due dei tre vertici del triangolo, e i cui centri (Ja, Jb, Jc) corrispondono alle immagini del circumcentro rispetto ai suoi lati.
Proprietà dei cerchi Tutti i cerchi di Johnson sono congruenti col circumcerchio, hanno cioè la medesima area e il medesimo perimetro; ciò è spiegabile ricorrendo al teorema di Johnson: dovendo essere tre cerchi congruenti e intersecantesi in un sol punto, oltre che avere i vertici come altri due vincoli, questi punti rappresentano giocoforza i punti di intersezione fra due singoli cerchi, e quindi per il teorema di Johnson si devono trovare su una circonferenza di pari raggio, che coincide col circumcerchio del triangolo. Il loro punto di intersezione comune, è sempre l'ortocentro, quindi sarà interno dei triangoli acuti, esterno in quelli ottusi, e al vertice comune dei due cateti nel caso dei triangoli rettangoli In un triangolo rettangolo il circumcerchio stesso corrisponde a uno dei cerchi di Johnson, e il loro diametro e uguale all'ipotenusa. right|200px Hanno un cerchio tangente di raggio pari a 2R e centrato nell'ortocentro che corrisponde al circumcerchio del triangolo anticomplementare i cui vertici corrispondono con i punti di tangenza.
I centri I centri dei cerchi di Johnson vengono indicati con la lettera J (dal nome dello scopritore del teorema, Roger Johnson) e il pedice del lato, quindi Ja, Jb Jc: Ogni centro J corrisponde all'immagine del circumcerchio rispetto al lato per cui: Si trovano sull'asse del lato. Distano dal punto medio dal lato una distanza pari a quella del circumcerchio dallo stesso. I centri J formano il triangolo di Johnson. I centri J e i vertici del triangolo si trovano sulla medesima conica detta circumconica di Johnson.
Le loro coordinate trilineari sono:
con Δ uguale all'area del triangolo
Triangolo di Johnson 250px|rightIl triangolo di Johnson è un triangolo avente per vertici i centri dei cerchi di Johnson; esso è in realtà una omotetia di fattore -1 avente come centro il centro dei nove punti.
Nel triangolo di Johnson i punti identificati dall'ortocentro e dal circumcentro del triangolo di riferimento, si scambiano di ruolo.
Voci correlate Teorema di Johnson Cerchi di Yff
Altri progetti
Collegamenti esterni
Johnson, cerchi di