Teoria quantistica dei campi

La teoria quantistica dei campi (in inglese Quantum field theory o QFT) è la teoria fisica che unifica la meccanica quantistica, la teoria dei campi classica e la relatività ristretta. In questo contesto, gli oggetti fondamentali sono i campi, entità fisiche rappresentate in ogni punto dello spaziotempo, mentre le particelle sono considerate come stati eccitati di un punto del campo.

Introdotta con l’elaborazione dell'elettrodinamica quantistica, portando poi al modello generale delle particelle elementari e delle interazioni fondamentali (il Modello standard), ha trovato estesa applicazione anche in fisica della materia condensata, potendo descrivere, ad esempio, i fluidi o i cristalli attraverso modelli di quasiparticelle.

I fondamenti della teoria furono sviluppati tra i tardi anni venti e gli anni cinquanta del Novecento principalmente da Paul Dirac, Wolfgang Pauli, Shin'ichirō Tomonaga, Julian Schwinger, Richard P. Feynman e Freeman Dyson.

Storia Lo sviluppo della teoria quantistica dei campi avvenne contemporaneamente a quello della meccanica quantistica "ordinaria", con lo scopo di spiegare i fenomeni atomici tenendo conto anche delle leggi della teoria della relatività.Questa prima parte — prima del 1950 — si basa su . Tra il 1926 e il 1928 furono formulati i primi tentativi, dovuti a Erwin Schrödinger e a Paul Dirac, di trovare un'equazione d'onda relativistica che descrivesse il movimento di una particella quantistica. Tuttavia queste equazioni si rivelarono inconsistenti.

D'altra parte, nel 1926 Werner Heisenberg, Pascual Jordan e Max Born approfondirono lo studio del problema del corpo nero, ovvero lo studio del comportamento della radiazione elettromagnetica dentro una cavità, in assenza di cariche. Questo costituì il primo esempio di una teoria quantistica dei campi, in questo caso applicando le regole di quantizzazione al campo elettromagnetico. Da ciò risulta che la radiazione si comporta come un insieme di particelle, i fotoni, in accordo con l'ipotesi dei quanti di luce formulata da Einstein nel 1905. Dopo questo esempio, le equazioni d'onda relativistiche furono studiate da un nuovo punto di vista: invece di interpretarle come funzioni d'onda, furono trattate con le regole di quantizzazione di un campo classico, ottenendo equazioni per particelle quantistiche che rispettavano le leggi della relatività ed erano consistenti. Questo procedimento, conosciuto come seconda quantizzazione, fu ideato da Heisenberg, Wolfgang Pauli, Vladimir Fock, Wendell Furry, Robert Oppenheimer e Victor Weisskopf.

Nonostante i successi iniziali, la teoria quantistica dei campi aveva problemi teorici molto gravi, dato che il calcolo di molte grandezze fisiche in apparenza ordinarie dava come risultato infinito, senza senso da un punto di vista fisico. Un esempio di ciò erano le piccole differenze tra certi livelli di energia dell'atomo di idrogeno, la cosiddetta struttura fine. Questo "problema delle divergenze" fu risolto negli anni 1930 e 1940, tra gli altri da Julian Schwinger, Freeman Dyson, Richard Feynman e Shin'ichirō Tomonaga, mediante una tecnica chiamata rinormalizzazione, portando allo sviluppo della moderna elettrodinamica quantistica (o QED, da Quantum Electrodynamics). A partire da essa la tecnica dei diagrammi di Feynman, una procedura di calcolo tramite grafici sviluppata dallo scienziato statunitense, diventò uno degli strumenti fondamentali della teoria quantistica dei campi.

Nel decennio 1950 la QED fu generalizzata a una classe più generale di teorie conosciute come teorie di gauge, grazie al lavoro di Chen Ning Yang e Robert Mills.. Su tale base, alla fine degli anni '60 Sheldon Glashow, Abdus Salam e Steven Weinberg unificarono le interazioni elettromagnetica e debole nella teoria elettrodebole applicando il concetto di rottura spontanea di simmetria, introdotto originariamente per spiegare la superconduttività.Vedere e

Il modello dell'unificazione elettrodebole non ricevette tuttavia molta attenzione fino a che nel 1971 Gerardus 't Hooft e Martinus Veltman dimostrarono che le teorie con le simmetrie rotte spontaneamente possono essere normalizzate, dando il via alla formulazione del modello standard della fisica delle particelle.. D'altra parte, l'intensità delle interazioni forti tra gli adroni fu compresa solamente grazie allo sviluppo del concetto della libertà asintotica da parte di Frank Wilczek, David Gross e Hugh David Politzer nel 1973..

Durante gli anni '70, la teoria quantistica dei campi «ha liberato dalle catene i diagrammi di Feynman», con la scoperta che le soluzioni non perturbative delle equazioni dei campi classici giocano un ruolo cruciale a livello quantistico.. Inoltre, l'atteggiamento verso la tecnica di rinormalizzazione e verso la teoria quantistica dei campi in generale stava progressivamente cambiando, grazie ai progressi, tra gli altri di Kenneth Wilson, nella fisica della materia condensata. La comparsa degli infiniti è passata dall'essere considerata una "patologia" a «semplicemente un promemoria di un limite pratico: non sappiamo cosa succede a distanze molto più piccole di quelle che possiamo osservare direttamente».. Vedere anche

Principi Per semplicità, nelle seguenti sezioni saranno usate le unità naturali, nelle quali la costante di Planck ridotta e la velocità della luce sono entrambe poste uguali a uno.

Campi classici

Un campo classico è una funzione delle coordinate spaziali e del tempo.. Alcuni esempi sono il campo gravitazionale della teoria newtoniana e il campo elettrico e il campo magnetico nell'elettromagnetismo classico. Un campo classico può essere pensato come una quantità numerica assegnata ad ogni punto dello spazio che è variabile nel tempo. Perciò, ha infiniti gradi di libertà.

Molti fenomeni che manifestano proprietà quantistiche non possono essere spiegati per mezzo di campi classici. Fenomeni come l'effetto fotoelettrico sono meglio descritti da particelle discrete (fotoni), piuttosto che da un campo continuo nello spazio. L'obiettivo della teoria quantistica dei campi è di descrivere vari fenomeni quantistici usando un concetto modificato di campo.

La quantizzazione canonica e l'integrale sui cammini sono due comuni formulazioni della QFT.. Per motivare i fondamenti della QFT, è necessario fare una panoramica della teoria classica dei campi.

Il campo classico più semplice è un campo scalare reale: un numero reale variabile nel tempo associato ad ogni punto dello spazio. Si indica con , dove è il vettore posizione, e è il tempo. Si supponga che la lagrangiana del campo, , sia

dove è la densità di lagrangiana, è la derivata temporale del campo, è l'operatore gradiente, e è un parametro reale (la "massa" del campo). Applicando le equazioni di Eulero-Lagrange sulla lagrangiana:.

si ottengono le equazioni del moto per questo campo, che descrivono il modo in cui varia nel tempo e nello spazio:

Questa è chiamata equazione di Klein-Gordon..

L'equazione di Klein-Gordon è un'equazione delle onde, quindi le sue soluzioni possono essere espresse come somma di modi normali (ottenuti dalla trasformata di Fourier) nella maniera seguente:

dove è un numero complesso (normalizzato per convenzione), * indica la coniugazione complessa, e è la frequenza del modo normale:

E quindi ogni modo normale corrispondente a un singolo può essere visto come un oscillatore armonico classico con frequenza ..

Quantizzazione canonica

La procedura di quantizzazione per il campo classico di cui sopra è analoga alla promozione dell'oscillatore armonico classico a un oscillatore armonico quantistico.

Lo spostamento di un oscillatore armonico classico è descritto da

dove è un numero complesso (normalizzato per convenzione), e è la frequenza dell'oscillatore. Si noti che è lo spostamento di una particella in moto armonico semplice dalla posizione di equilibrio, che non andrebbe confusa con l'etichetta spaziale di un campo.

Per un oscillatore armonico quantistico, è promosso a un operatore lineare :

I numeri complessi e sono sostituiti rispettivamente dall'operatore di distruzione e dall'operatore di creazione , dove indica la coniugazione hermitiana. La relazione di commutazione tra i due è

L'hamiltoniana dell'oscillatore armonico quantistico è data da

Lo stato di vuoto , che è lo stato a energia minima, è definito da

e ha energia . Uno stato quantistico di un singolo oscillatore armonico può essere ottenuto da applicando in successione l'operatore di creazione :.

Allo stesso modo, anche il campo scalare reale , che corrisponde a nel singolo oscillatore armonico, è promosso a un operatore di campo , mentre l'operatore di distruzione , l'operatore di creazione e la frequenza angolare sono ora associati a un particolare :

Le loro relazioni di commutazione sono:.

dove è la delta di Dirac. Lo stato di vuoto è definito da

Ogni stato del campo può essere ottenuto da applicando in successione gli operatori di creazione , ad esempio.

Sebbene il campo nella lagrangiana sia continuo nello spazio, gli stati quantistici sono discreti. Mentre lo spazio degli stati di un singolo oscillatore armonico contiene tutti gli stati di energia discreti di una particella oscillante, lo spazio degli stati di un campo contiene i livelli di energia discreti di un numero arbitrario di particelle. Quest'ultimo è detto spazio di Fock, che può tener conto del fatto che il numero di particelle non è fissato nei sistemi quantistici relativistici. Il procedimento di quantizzare un numero arbitrario di particelle invece di una singola particella è spesso chiamato anche seconda quantizzazione..

La procedura precedente è un'applicazione diretta della meccanica quantistica non relativistica e può essere usata per quantizzare campi scalari (complessi), campi di Dirac,. campi vettoriali (ad esempio, il campo elettromagnetico), e persino le stringhe. Tuttavia, gli operatori di creazione e di distruzione sono ben definiti solo nelle teorie più semplici che non contengono interazioni (le cosiddette teorie libere). Nel caso del campo scalare reale, l'esistenza di questi operatori era una conseguenza della scomposizione della soluzione delle equazioni del moto classiche in una somma di modi normali. Per effettuare calcoli su una qualsiasi teoria interagente realistica, risulta necessario usare la teoria perturbativa.

La lagrangiana di un qualunque campo quantistico in natura conterrebbe termini di interazione in aggiunta ai termini di teoria libera. Per esempio, si potrebbe introdurre un termine di interazione quartica nella lagrangiana del campo scalare reale:.

dove è l'indice dello spaziotempo, , ecc. La sommatoria sull'indice è omessa secondo la notazione di Einstein. Se il parametro è sufficientemente piccolo, allora la teoria interagente descritta dalla lagrangiana di cui sopra può essere considerata come una piccola perturbazione alla teoria libera.

Integrale sui cammini

La formulazione dell'integrale sui cammini della QFT si occupa di calcolare direttamente l'ampiezza di scattering di un certo processo di interazione, piuttosto che di definire operatori e spazi degli stati. Per calcolare l'ampiezza di probabilità che un sistema evolva dallo stato iniziale al tempo a un certo stato finale a , il tempo totale è diviso in piccoli intervalli. L'ampiezza totale è il prodotto delle ampiezze di evoluzione all'interno di ogni intervallo, integrato su tutti gli stati intermedi. Sia la hamiltoniana (cioè il generatore dell'evoluzione temporale), allora.

Facendo il limite per , il precedente prodotto di integrale diventa l'integrale sui cammini di Feynman:, .

dove è la lagrangiana dipendente da e dalle sue derivate rispetto alle coordinate spaziali e temporali, ottenuta dalla hamiltoniana tramite una trasformazione di Legendre. Le condizioni iniziale e finale dell'integrale sui cammini sono rispettivamente