In matematica e in fisica, l'identità di Jacobi, il cui nome si deve a Carl Gustav Jakob Jacobi, è una proprietà di bilinearità la quale dipende dall'ordine di valutazione dell'operazione data. Diversamente dalle operazioni associative, è importante l'ordine di valutazione delle quantità che devono soddisfare all'identità di Jacobi.
Definizione L'identità di Jacobi è la relazione della seguente forma:
dove è il commutatore.
Un'operazione binaria definita su un insieme con un'operazione binaria con identità additiva (elemento neutro rispetto a ) soddisfa l'identità di Jacobi se:
Ovvero se la somma di tutte le permutazioni pari di deve essere nulla.
Questa identità può essere presa in considerazione per qualsiasi anello intendendo che sia , cioè che le parentesi quadrate caratterizzino il commutatore degli elementi dell'anello. In particolare, l'identità può essere presa in considerazione quando , e sono elementi di un'algebra e, ancora più in particolare, quando , e denotano matrici quadrate su un campo. Una tale algebra in genere non è anticommutativa.
L'identità di Jacobi interviene anche nella definizione dell'algebra di Lie come assioma per la legge di composizione data dalla scrittura . In un'esposizione generale questa composizione viene trattata assiomaticamente, in una applicazione viene definita costruttivamente. Applicazioni di rilievo si hanno nella meccanica analitica e nella meccanica quantistica.
Bibliografia James E. Humphreys Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Second printing, revised. Graduate Texts in Mathematics, 9. Springer-Verlag, New York, 1978. ISBN 0-387-90053-5 Nathan Jacobson (1962): Lie algebras, Republication Dover Publications, New York, 1979. ISBN 0-486-63832-4 Victor G. Kac, et. al. Course notes for MIT 18.745: Introduction to Lie Algebras, Robert N. Cahn (1984) Semi-Simple Lie Algebras and their Representations , Benjamin-Cummings Hans Samelson Notes on Lie Algebra
Voci correlate Algebra di Lie Commutatore (matematica) Parentesi di Poisson Parentesi di Jacobi Superalgebra di Lie
Collegamenti esterni
Robert N. Cahn (1984) Semi-Simple Lie Algebras and their Representations , Benjamin-Cummings Hans Samelson Notes on Lie Algebra
Categoria:Algebra nonassociativa Jacobi, identità di