Nell'ambito della logica formale, si indica come logica modale una qualsiasi logica in cui è possibile esprimere il "modo" in cui una proposizione è vera o falsa. Storicamente, gli studi di logica modale sono iniziati con i concetti di possibilità e necessità. Tuttavia, la logica modale contemporanea si occupa di numerosi altri concetti, come quello di obbligo morale o come quelli di credenza. Esempi di proposizioni modali sono, quindi, "È possibile che piova" o "È necessario che Socrate sia mortale o non mortale", ma anche "È doveroso andare a votare" o "Socrate crede che piova".
Gli operatori modali basilari sono per esprimere la necessità e la possibilità. Nella logica modale classica, ciascuno dei due operatori può essere espresso nei termini dell'altro e dell'operatore di negazione.
Quindi si dirà che "È possibile che Socrate sia stato ucciso" se e solo se "Non è necessario che Socrate non sia stato ucciso".
Lo studio delle logiche modali trova applicazione in filosofia, nell'investigazione dei fondamenti della matematica, in informatica e nelle scienze cognitive.
Definizione degli operatori , non è una equivalenza fra i due membri, in cui sarebbe corretto sostituire al simbolo , quello di uguaglianza, se si guarda alla definizione comune di "necessario", che corrisponde a ciò che è vero e che non può essere altrimenti (di cui non è possibile il contrario). In simboli: . Questa definizione dell'operatore di necessità, contiene l'assioma di necessità secondo cui tutto ciò che è necessariamente vero, dovrebbe essere vero.
In simboli: , che è poi l'assioma T di cui si parla nel seguito. La definizione non è valida per le modalità deontiche. Infatti, per l'operatore di necessità, abbiamo due assiomi (vedi sotto), T (più diffuso nei sistemi modali) e D, in cui la necessità implica la realtà, oppure la sola possibilità di un predicato.
Per l'altro operatore di possibilità, Alfred Tarski definisce possibile tutto ciò che non è auto-contraddittorio, cioè per cui vale la legge di non-contraddizione e del terzo escluso.
In simboli:
Vale sempre la modalità ab esse ad posse, secondo cui la realtà di un predicato implica sempre la sua possibilità:
assioma di possibilità il quale afferma che tutto ciò che è vero, è possibile; in genere non è esplicitato nei sistemi modali.
Storia
La logica modale nasce in epoca classica con l'analisi delle proposizioni contenenti le espressioni necessario e possibile fatta da Aristotele negli Analitici primi e nel De Interpretatione. Dopo di lui si occuparono di questo tipo di enunciati i Megarici e gli Stoici.
Tali studi ebbero ampi sviluppi nel Medioevo nell'ambito della filosofia Scolastica, in particolare ad opera di Guglielmo di Ockham. Risale a questa tradizione la qualificazione di modale per le espressioni che indicano il modo in cui una proposizione è vera.
La logica modale moderna nasce con le assiomatizzazioni datene nel 1932 da C.I. Lewis nel libro Symbolic Logic, scritto con C. H. Langford. L'introduzione di queste assiomatizzazioni era rivolta alla soluzione dei paradossi dell'implicazione logica o materiale, come il fatto che una proposizione falsa implichi qualsiasi proposizione (Ex falso sequitur quodlibet) o che una proposizione vera sia implicata da qualsiasi proposizione. Lewis volle allora introdurre il concetto di implicazione stretta, dove p implica strettamente q significa non è possibile che p sia vero e q sia falso (in simboli , equivalente a ). I diversi insiemi di assiomi utilizzati da Lewis per descrivere l'implicazione stretta condussero a cinque sistemi noti come S1 - S5, di cui attualmente solo S4 e S5 sono utilizzati. L'implicazione stretta ha rappresentato una soluzione parziale ai due paradossi delle implicazioni materiali citati. Citazione: "Benché risolva questi paradossi ne lascia aperti altri analoghi, [...] Con l'implicazione stretta i paradossi classici risultano sostanzialmente riformulati in termini modali e sopravvivono sotto mutate spoglie.
Si consideri l'esempio: "i cittadini pagano le tasse", e gli enunciati modali "necessariamente i cittadini pagano le tasse", "si sa che i cittadini pagano le tasse", "credo che i cittadini paghino le tasse", mentre posso stabilire con certezza che "è possibile che i cittadini paghino le tasse" (dato che già avviene).
Eccetto l'operatore di possibilità quando si parte da una situazione vera o necessaria, gli operatori della logica modale non sono vero-funzionali: diversamente dai connettivi logici booleani (congiunzione, disgiunzione, implicazione, ecc.), per gli operatori modali non si può costruire una tabella della verità perché il valore di verità dipende ma non esclusivamente da quello degli enunciati semplici componenti, e in genere il fattore aggiuntivo è il valore di verità di quell'enunciato rispetto a situazioni alternative a quella reale.
Nel 1959 Saul Kripke definì una semantica per le logiche modali basata sul concetto di mondi possibili e sulla relazione di accessibilità tra mondi. Riuscì a costruire le tavole di verità per gli operatori di possibilità e necessità. In base a tale semantica, la proposizione "È necessario p" è vera in un mondo w se è vera in tutti i mondi v accessibili da w. L'introduzione di tale semantica ha dato inizio agli studi attuali sulle logiche modali. In simboli, abbiamo le definizioni di verità (valori 1 oppure 0) dei due operatori, proposte da Carnap in In Meaning and Necessity: (nel mondo attuale) se e solo se in tutti i mondi possibili; (nel mondo attuale) se e solo se in qualche mondo possibile; dove per "mondo possibile" si intendono quelli accessibili dal mondo scelto come attuale.
Con questa drastica restrizione di campo, non sono più considerate tutte le alternative, ma solo quelle possibili per una presa a riferimento: la verità o falsità di una formula modale dipendono non più da tutti i mondi possibili, ma dalla relazione R di accessibilità.
Le logiche modali sono estensioni della logica classica con conseguenze sul piano sintattico e semantico:
Sul piano semantico le logiche modali sono estensioni della semantica classica che mantengono il principio della bivalenza (vero/falso) ma non quello della vero-funzionalità (la verità/falsità delle proposizioni composte non dipende solo da quella delle proposizioni elementari componenti, ma dalla relazione di accessibilità coi mondi possibili), Sul piano sintattico le logiche modali sono estensioni sintattiche della logica classica perché ne inglobano i segni del linguaggio (= alfabeto) e le regole del calcolo (= regole di deduzione).
Poiché gli operatori modali non sono vero-funzionali, è emersa la necessità di un loro sviluppo sintattico.
Come afferma Lorenzo Magnani, nell'ambito della computer science, ad esempio, ha insegnato alle macchine come imitare ragionamenti umani molto complessiMagnani: logica e possibilità, ad esempio con la bisimulazione, cioè modelli di Kripke che usano un Sistema a transizione di stati al posto dei mondi possibili, per decidere la correttezza e la terminazione con successo di un programma informaticoJames Garson, Modal Logic, su Stanford Encyclopedia of Philosophy, First published Tue Feb 29, 2000; substantive revision Tue May 27, 2014.
Nel 2020, nell'applicazione del calcolo proposizionale, sono noti elaboratori capaci di validare una dimostrazione di logica formale completa di tutti i passi logici, regole di calcolo applicate e relative assunzioni, ma non sono noti elaboratori capaci di elaborare autonomamente una dimostrazione, intesa come derivazione di una conclusione a partire da un insieme di una o più formule ben formate assunte come premesse. In altre parole, l'elaboratore meccanico, elettronico o meccatronico è a posteriori in grado di confermare la correttezza o non correttezza di una dimostrazione eseguita da agenti umani, ma non è capace di eseguire una dimostrazione in modo tale da sostituirsi o superare l'operatore umano in tale tipo di ragionamento logico deduttivo.Edward J. Lemmon, Elementi di logica con gli esercizi risolti, Giuseppe Laterza editore, cap. 1-La logica proposizionale, p. 43, ISBN 978-88-420-2772-0. Citazione: I calcoli aritmetici possono essere generati oltre che controllati, meccanicamente, mentre fin qui non abbiamo trovato alcun modo meccanico di generare prove - anche se, una volta scoperte, una macchina potrebbe certamente verificarne la validità. Tale possibilità non è però stata esclusa a livello teoretico, data l'assimilazione della logica proposizionale al calcolo matematico numerico e letterale, già eseguito dagli elaboratori, e data la similitudine fra il formalismo di quest'ultima e quello della logica matematica.
Modalità aletiche Le modalità aletiche sono quelle relative al modo di essere vero di un enunciato, ovvero se esso è possibilmente vero, necessariamente vero o contingentemente vero. Si tratta delle modalità comunemente intese quando non diversamente specificato.
Le modalità aletiche possono essere intese in diversi sensi.
Possibilità logica È il senso più debole, in quanto pressoché qualsiasi cosa intelligibile è logicamente possibile: gli asini possono volare, Socrate può essere immortale e la teoria atomica della materia può essere falsa.
Alla stessa maniera, pressoché nulla è logicamente impossibile; una cosa logicamente impossibile è chiamata contraddizione. È possibile che Socrate sia immortale, ma non è possibile che Socrate sia mortale e immortale. Molti logici ritengono che le verità matematiche siano logicamente necessarie (ad esempio è logicamente impossibile che 2+2 ≠ 4).
Possibilità fisica Qualcosa è fisicamente possibile se è permesso dalle leggi della natura. Ad esempio, è possibile che ci sia un atomo con numero atomico 150, anche se nella realtà tale atomo non esiste. Per contro non è in questo senso possibile che ci sia un atomo il cui nucleo contenga formaggio. Mentre è logicamente possibile accelerare qualcosa oltre la velocità della luce, secondo la scienza moderna ciò non è fisicamente possibile per un oggetto dotato di massa.
Possibilità metafisica I filosofi possono prendere in considerazione le proprietà che gli oggetti hanno indipendentemente dalle leggi della natura. Ad esempio, potrebbe essere metafisicamente necessario che qualsiasi ente pensante abbia un corpo e possa avere esperienza del passaggio del tempo, o che Dio esista (o non esista).
La possibilità metafisica è generalmente ritenuta più forte di quella logica, nel senso che ci sono meno cose metafisicamente possibili di quante ce ne siano logicamente. È invece materia di dibattito filosofico il rapporto con la possibilità fisica, e il fatto se le verità metafisicamente necessarie siano tali "per definizione" o perché riflettono qualche fatto rilevante sulla realtà.
Modalità epistemiche
B1 Bp ⇏ p (essere certi di p non implica la verità di p) B2 Bp → ¬B¬p (principio di non contraddizione epistemico) B3 Bp → BBp (principio di introspezione) B4 ¬Bp → B¬Bp (tale principio prova che è impossibile dubitare di tutto, cioè che è impossibile non essere certi di dubitare)
Principi su K
K1 Kp → p (il conoscere implica la verità di p, la verità è condizione necessaria della conoscenza) K2 Kp → Bp (il conoscere si accompagna alla credenza, "tendo a credere a ciò che conosco") K3 Kp → ¬K¬p (principio di non contraddizione epistemico) K4 Kp → KKp (principio di introspezione)
È aperta la discussione su un quinto assioma per K, vale a dire
K5 ¬Kp → K¬Kp
i) ¬Kp → K¬Kp (K5) ii) K¬Kp → B¬Kp (K2) iii) ¬B¬Kp → ¬K¬Kp (regola di contrapposizione applicata a K2) iiib) ¬K¬Kp → Kp (regola di contrapposizione applicata a K5) iv) ¬B¬Kp → Kp (regola di concatenazione su iii e iiib) v) BKp → ¬B¬Kp (principio di non contraddizione epistemico) vi) BKp → Kp (concatenazione su iv e v)