In geometria, la spirale aurea è un tipo particolare di spirale logaritmica con fattore di accrescimento b pari a φ, la sezione aurea.Chang, Yu-sung, "Golden Spiral ", The Wolfram Demonstrations Project.
Formula L'equazione polare di una spirale aurea è la stessa delle altre spirali logaritmiche, ma con un particolare valore di b:Priya Hemenway (2005). Divine Proportion: Φ Phi in Art, Nature, and Science. Sterling Publishing Co. pp. 127–129. ISBN 1402735227.
oppure
dove e è la base dei logaritmi naturali, a è una costante reale arbitraria, ma positiva, e b è tale che quando θ è un angolo retto, la quantità:
La quantità è il fattore che descrive di quanto aumenta il raggio della spirale dopo aver compiuto un angolo retto, ovvero un quarto di giro. Se per esempio imponiamo , ciò significa che in questo caso la spirale raddoppia il proprio raggio ad ogni quarto di giro e quindi ad ogni giro completo le sue dimensioni aumentano di un fattore .
Perciò, b è dato da
Utilizzando questa definizione l'equazione della spirale logaritmica diventaKlaus Mainzer (1996). Symmetries of Nature: A Handbook for Philosophy of Nature and Science. Walter de Gruyter. pp. 45.:
in quanto .
Calcolando il rapporto tra e infatti si ottiene:
Il che dimostra come nella forma la quantità sia il fattore che descrive di quanto aumenta il raggio ogni quarto di giro.
La spirale aurea è quindi un caso particolare della spirale logaritmica, ovvero il caso in cui , al posto di essere un numero reale positivo generico, assume il valore della sezione aurea:
Il valore numerico del modulo di b per la spirale aurea vale:
per θ espresso in gradi;
per θ espresso in radianti.
Note
Voci correlate Sezione aurea Rettangolo aureo Angolo aureo Spirale logaritmica
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