La costante di Gel'fond è un numero trascendente il cui valore è e elevato alla π,
Prende il nome dal matematico Aleksandr Osipovič Gel'fond, che nel 1934 ne provò la trascendenza come conseguenza del suo teorema di Gel'fond.
Il suo sviluppo in frazione continua è
Dimostrazione della trascendenza
Dalla formula di Eulero si può ricavare che:
Elevando entrambi i membri alla i, avremo, ricordando che :
cioè
i e -2i sono entrambi numeri algebrici non razionali, e quindi per il teorema di Gel'fond non può essere algebrico.
Calcolo Il valore della costante di Gel'fond può essere calcolato rapidamente usando la seguente sequenza:
L'espressione
converge allora rapidamente ad
Proprietà geometriche Il volume di una sfera di dimensione n (un'ipersfera) è dato da
dove è la funzione gamma. Di conseguenza, se si considerano solo le ipersfere di raggio unitario e dimensione pari, si ha che:
ricordando che per n intero. Di conseguenza, sommando questi valori, si ha
perché il secondo membro è lo sviluppo in serie di Taylor dell'esponenziale.
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