Nell'analisi matematica, la regola del prodotto o regola di Leibniz è una regola di derivazione che nella sua forma generale permette di calcolare qualsiasi derivata prima del prodotto di funzioni con tutte derivabili:
Enunciato semplice La derivata prima del prodotto di due funzioni derivabili in è uguale al prodotto della prima per la derivata della seconda più il prodotto della seconda per la derivata della prima, che nella notazione di Lagrange si esprime:
Dimostrazione Applicando la definizione di derivata ed ipotizzando le funzioni e derivabili in :
Ora sottraiamo e sommiamo la quantità :
Raccogliendo e si ottiene
Siccome le funzioni e sono, per ipotesi, derivabili in , quindi è qui anche continua sia che . Si conclude che:
e quindi:
come volevasi dimostrare.
La scoperta di Leibniz La scoperta di questa regola è stata attribuita al matematico Gottfried Leibniz - da cui il nome - che la dimostrò utilizzando il differenziale, utilizzando una sua particolare notazione, come di seguito riportata, in cui e sono due funzioni di . Allora il differenziale di è
Siccome il termine è "trascurabile" in quanto differenziale del second'ordine, Leibniz concluse che
Questo è identico alla forma differenziale della regola del prodotto. Se si divide entrambi per il differenziale , si ottiene
che corrisponde nella notazione di Lagrange a:
Derivata del prodotto di una costante per una funzione Un caso particolare notevole è la derivata del prodotto tra una funzione e una costante :
ma essendo derivata di una costante allora, per l'annullamento del prodotto, rimane solo il primo termine; quindi
Generalizzazioni Prodotto multiplo La regola può essere generalizzata anche per una collezione di funzioni derivabili, , e dimostrabile con un processo simile a quello già visto ottenendo la regola generale: La derivata del prodotto di n funzioni è uguale alla sommatoria di n addendi ognuno dei quali contenente la derivata dell'n-esima funzione e le restanti non derivate.
più succintamente introducendo la produttoria e considerando le funzioni prive di zeri:
Applicazione polinomiale Dall'applicazione della precedente si può dimostrare per induzione che
per intero positivo:per non intero e positivo occorre ricorrere ad altre dimostrazioni è una produttoria di funzioni uguali tutte uguali a , per cui, per la generalizzazione, si otterrà una sommatoria di elementi tutti uguali tra loro:
Applicando ora l'ipotesi induttiva del principio di induzione per e ricordando che , possiamo scrivere:
Il risultato segue ricordando che
Derivate successive Le derivate successive -sime del prodotto di due funzioni sono:
Il riferimento apicale essendo tra parentesi non indica un esponente ma l'ordine di derivazione secondo la notazione di Lagrange
dove indica il coefficiente binomiale.
Applicazione polinomiale Proviamo a derivare due volte la funzione , usando il fatto che la derivata di è sempre uguale a sé stessa.
Per quanto riguarda la derivazione di una funzione a esponente naturale:
Note
Voci correlate Regole di derivazione Regola del quoziente Regola della somma
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Categoria:Calcolo differenziale