La parabola è una figura piana, più precisamente una sezione conica, definita come il luogo geometrico dei punti di un piano equidistanti da un punto fisso , detto fuoco, e da una retta data , detta direttrice.
La sezione conica
Una parabola è una sezione conica, cioè una figura che si ottiene come intersezione fra un cono circolare ed un piano.
Il tipo di sezione conica dipende dalla inclinazione del piano rispetto al cono.
Una retta generatrice del cono è una retta contenuta nella superficie del cono.
Una parabola è una curva ottenuta come intersezione di un cono circolare e un piano parallelo ad una retta generatrice del cono.
Se il piano non è parallelo ad una retta generatrice, si ottengono altre sezioni coniche, quali ad esempio l'ellisse o l'iperbole.
Luogo geometrico Una parabola può anche essere definita come luogo geometrico nel modo seguente.
Una parabola è l'insieme dei punti del piano equidistanti da una retta (detta direttrice) e da un punto (detto fuoco) non contenuto in .
In altre parole, una parabola è l'insieme dei punti tali che, indicata con la proiezione ortogonale di sulla retta , sono uguali tra loro le lunghezze dei segmenti
La retta passante per e ortogonale alla direttrice costituisce lasse di simmetria della curva. L'intersezione dell'asse di simmetria con la parabola, punto medio tra il fuoco e la sua proiezione sulla direttrice, si dice vertice della parabola.
La parabola, in geometria descrittiva, è anche il luogo geometrico dei centri delle circonferenze tangenti una circonferenza ed una retta.
Equazione cartesiana della parabola In geometria analitica, il piano è dotato di coordinate cartesiane ortogonali, e una parabola può essere descritta come luogo di punti che soddisfa un'equazione di un certo tipo.
Una parabola è l'insieme dei punti del piano cartesiano che soddisfano una equazione quadratica del tipo Operando una rotazione che trasforma l'asse della parabola in una retta parallela all'asse delle ordinate si può ottenere una espressione più semplice, del tipo:
con .
Se invece la rotazione trasforma l'asse in una retta parallela all'asse delle ascisse l'equazione diventa:
Equazione generale della parabola Sia data una retta in forma implicita ed un punto nel piano, non appartenente alla retta, la parabola che ha come direttrice la suddetta retta e come fuoco il punto ha equazione:
con parametri:
Queste equazioni si ricavano dalla definizione metrica della parabola:
Dalla precedente equazione si elimina la radice elevando al quadrato e infine si uguagliano i coefficienti a quelli dell'equazione generale delle coniche.
Si può trasformare facilmente dalla direttrice in forma implicita alla direttrice in forma esplicita dividendo tutto per e semplificando ricordando anche che .
Equazione della parabola con vertice nell'origine e asse di simmetria coincidente con l'asse y
Sia la distanza fuoco-direttrice.
Il fuoco ha coordinate .
La direttrice ha equazione .
Il punto è la proiezione ortogonale di su .
Il punto medio di è ed esso appartiene alla parabola essendo equidistante dal fuoco e dalla direttrice.
Tale punto è detto vertice della parabola.
Per la definizione di parabola il punto appartiene alla parabola se e solo se la distanza dal fuoco è uguale alla distanza dalla direttrice e dunque dove è la proiezione ortogonale di sulla direttrice:
Elevando al quadrato e dopo opportune semplificazioni si ottiene da cui .
Posto si ottiene la nota equazione elementare della parabola
Questa parabola ha vertice nell'origine degli assi cartesiani e asse di simmetria coincidente con l'asse delle ordinate (asse ).
Rispetto al parametro il fuoco ha coordinate e la direttrice ha equazione .
Equazione della parabola traslata Si vuole traslare la parabola di un vettore .
Le equazioni di traslazione sono:
Quindi la parabola traslata ha equazione .
Il nuovo vertice ha coordinate .
Caratteristiche della parabola con asse di simmetria parallelo ad uno degli assi cartesiani Parabola con asse di simmetria verticale (parallelo all'asse y delle ordinate) L'equazione di questa parabola è
Discriminante:
Equazione dell'asse di simmetria:
Coordinate del vertice:
Coordinate del fuoco:
Equazione della direttrice:
dove la seconda versione per l'ordinata del fuoco e per l'equazione della direttrice ne aiutano la memorizzazione evidenziandovi il termine (che rappresenta l'ordinata del vertice) e il termine
(il cui valore assoluto rappresenta la distanza del vertice sia dal fuoco sia dalla direttrice).
Si noti che l'ordinata del vertice, poiché
è un punto appartenente alla parabola, può anche essere ottenuta sostituendo l'ascissa del vertice nell'equazione della parabola: .
Parabola con asse di simmetria orizzontale (parallelo all'asse x delle ascisse) Ogni parabola con asse parallelo all'asse si può ottenere come corrispondente, nella simmetria assiale rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante, di una parabola con asse parallelo all'asse Per ricavare la sua equazione, applicando all'equazione generale della parabola con asse parallelo all'asse delle ordinate, , le equazioni di simmetria
ne risulta che bisogna scambiare la variabile con la variabile , ottenendo
Lo stesso procedimento può essere attuato per ottenere gli altri elementi della parabola:
Discriminante:
Equazione dell'asse di simmetria:
Coordinate del vertice:
Coordinate del fuoco:
Equazione della direttrice:
Parabola e funzioni Al contrario di l'equazione non fa corrispondere a ogni uno e un solo valore di pertanto una parabola con asse parallelo all'asse delle ascisse non è il grafico di una funzione. Tuttavia, alcune equazioni di rami di parabole tra cui possono esprimere una funzione.
Coefficienti dell'espressione polinomiale Ciascuno dei coefficienti nell'espressione
ha un ruolo particolare.
Il coefficiente a
Il coefficiente determina la convessità della parabola: : concavità rivolta verso l'alto (o verso la direzione positiva delle ascisse nel caso di una parabola il cui asse è parallelo all'asse ); : concavità rivolta verso il basso (o verso la direzione negativa delle ascisse nel caso di una parabola il cui asse è parallelo all'asse ); : la parabola degenera in una retta. Il suo significato risulta evidente nel caso particolare (, ) in cui l'equazione si riduce alla
Il coefficiente b
Il coefficiente determina la pendenza con cui la parabola interseca l'asse delle ordinate. In altre parole, la retta tangente alla parabola nel punto di incontro con l'asse delle ordinate, ha pendenza pari a Questo significa che se vale zero, il vertice della parabola appartiene all'asse e quindi l'asse della parabola coincide con l'asse delle ordinate.
Il coefficiente è legato alla posizione dellasse della parabola (la retta verticale passante per il vertice), che ha equazione
Lo si può dimostrare sia trovando il punto medio di due punti della parabola che hanno uguale ordinata, sia trovando lo zero della derivata (infatti se la derivata prima è uguale a zero otteniamo un punto stazionario, in questo caso il vertice).
Mentre la derivata prima, potrà essere facilmente individuata essendo una retta che interseca l'asse delle ascisse nel punto e l'asse delle ordinate in
Considerando il vertice della parabola si può notare (anche dall'animazione a destra) che questo, al variare di , compie un movimento formando un'altra parabola. Infatti si prendano in considerazione le equazioni che esprimono le coordinate del vertice, considerando come incognite la e la
Riscrivendo, tramite alcune manipolazioni algebriche, l'equazione della possiamo individuare l'espressione della in quest'equazione
Sostituendo con la si ottiene la parabola
che è l'equazione della parabola formata dai vertici delle parabole iniziali ottenute al variare di con e fissati.
Il coefficiente c Il coefficiente , termine noto dell'equazione della parabola, determina il punto di intersezione della parabola con l'asse delle ordinate.
Ciò è facilmente verificabile mettendo a sistema l'equazione dell'asse con quella di una parabola:
Se il termine è nullo, la parabola passa per l'origine degli assi.
Problemi classici della parabola Parabola passante per tre punti Dati tre punti di coordinate note, si possono trovare i coefficienti dell'equazione che rappresenta la parabola passante per tali punti attraverso un sistema di tre equazioni, andando a sostituire le incognite e con le coordinate dei punti.
Parabola passante per un punto e il vertice 1° metodo (sostituendo le coordinate di e del punto)
Si vogliono determinare i coefficienti di una parabola con asse parallelo all'asse del tipo: .
È noto che tale parabola ha vertice nel punto e passa per il punto .
Si sfrutta la condizione di passaggio per e per e il fatto che il vertice sta sull'asse di simmetria della parabola e dunque .
È necessario costruire un sistema di tre equazioni nelle incognite
Si tratta di un sistema fratto, ma lineare facilmente risolvibile mediante sostituzione di ricavata dalla terza equazione.
2° metodo (usando il concetto di fascio di parabole o quello di traslazione)
Poiché qualunque parabola (ad asse verticale) è riconducibile alla parabola , opportunamente traslata, si può scrivere la generica parabola passante per come:
Rimane così da determinare un solo parametro (), che può essere trovato imponendo il passaggio per il punto , sostituendo le coordinate di alle variabili , .
Problemi retta parabola Retta tangente a una parabola in un suo punto Data l'equazione della parabola e considerato un suo generico punto di coordinate l'equazione della retta tangente alla parabola nel punto è data da:
Dimostrazione Ricordando che il coefficiente angolare della tangente a una funzione in un suo punto è dato dalla derivata della funzione calcolata in tale punto, cominciamo col ricavare la derivata della parabola:
Il coefficiente angolare della tangente in sarà quindi dato dal valore della derivata in tale punto:
Sostituendo nella formula generale del fascio di rette avente per centro il punto
i valori e sopra riportati otteniamo:
Rette tangenti a una parabola condotte da un punto esterno
Data l'equazione generale della parabola:
e un punto esterno alla parabola, si vogliono trovare le rette tangenti alla parabola passanti per .
Il problema viene risolto attraverso la costruzione della cosiddetta condizione di tangenza.
Si costruisce il fascio proprio di rette centrato nel punto , la cui equazione è
Quindi si costruisce il sistema delle equazioni retta-parabola:
Il sistema non va risolto in quanto si tratta di un sistema parametrico (oltre alle incognite e c'è il parametro ), ma, dopo opportuna sostituzione, si ottiene l'equazione di 2º grado in di parametro associata al sistema:
Dall'equazione di 2º grado si ricava il discriminante che dipende dal parametro e si impone la condizione di tangenza
Le soluzioni di questa equazione, di incognita , sono i coefficienti angolari delle due rette tangenti alla parabola che vanno sostituiti nell'equazione del fascio proprio per determinare le equazioni di tali rette.
Altro metodo per le tangenti condotte da un punto esterno Un altro metodo per trovare le tangenti alla parabola è quello di usare la derivata, si consideri infatti la parabola di equazione:
e la sua derivata prima:
Per trovare le tangenti alla parabola passanti per il punto bisogna considerare l'equazione della retta passante per quel punto che è:
Trovando si ha:
Abbiamo posto la condizione di tangenza e quindi il coefficiente angolare deve essere uguale alla derivata:
Esistono quindi due punti appartenenti alla parabola in cui la derivata è uguale al coefficiente angolare della retta tangente passante per il punto , quei punti sono da determinare dall'equazione sopra posta. Sostituendo a l'equazione della parabola si ottiene: