In matematica, lo spazio di Schwartz o spazio delle funzioni a decrescenza rapida è lo spazio funzionale delle funzioni lisce le cui derivate così come le funzioni stesse, decrescono più velocemente di qualsiasi potenza di 1/x. Prende il nome del matematico Laurent Schwartz.
Indicato con , è caratterizzato dall'importante fatto che su di esso la trasformata di Fourier è un automorfismo. Grazie a questa proprietà, si può estendere la trasformata di Fourier allo spazio duale di , che è lo spazio delle distribuzioni temperate.
Definizione Data una funzione , si definisca:
dove e sono multiindici, e:
Lo spazio di Schwartz su è lo spazio funzionale:.
dove è lo spazio delle funzioni con tutte le derivate continue da a . Su consideriamo la topologia di spazio localmente convesso generato dalle seminorme .
Ad esempio, se i è un multiindice e è un numero reale positivo, allora appartiene allo spazio di Schwartz. Anche ogni funzione con supporto compatto appartiene a . Questo è evidente per la continuità di ogni derivata, quindi ha un massimo in .
Lo spazio duale di è lo spazio delle distribuzioni temperate.
Proprietà è uno spazio vettoriale complesso, cioè chiuso rispetto a somma e moltiplicazione per scalari complessi.
Usando la regola di Leibniz, segue che è chiuso anche sotto moltiplicazione; se , allora appartiene ancora a .
Per ogni , si ha che dove rappresenta lo spazio Lp su . Le funzioni in sono anche funzioni limitate.
La trasformata di Fourier è un isomorfismo lineare ..
Lo spazio di Schwartz è completo.
è denso in perché per esempio la base hilbertiana di con i polinomi di Hermite appartiene a . Lo spazio delle funzioni di test è contenuto in .
Note
Bibliografia
Voci correlate Distribuzione (matematica) Norma (matematica) Spazio duale Spazio funzionale Trasformata di Fourier
Collegamenti esterni
Categoria:Spazi vettoriali topologici Categoria:Analisi di Fourier