In geometria l'ellissoide è una quadrica che costituisce l'analogo tridimensionale dell'ellisse nelle due dimensioni. Un sottotipo di ellissoide è l'ellissoide di rotazione.
La sola superficie dell'ellissoide è nota come superficie ellissoidale. Svariate di queste superfici, nel caso degli ellissoidi di rotazione, sono superfici di rotazione.
Definizione
L'equazione dell'ellissoide standard in un sistema di coordinate cartesiane Oxyz è
,
dove , e sono numeri reali fissati tali che . Essi rappresentano i semiassi dell'ellissoide.
Questa definizione permette di individuare la seguente casistica: , si ha un ellissoide scaleno; Se due di questi parametri sono uguali, l'ellissoide si dice sferoide o ellissoide di rotazione , si ha uno sferoide prolato , si ha uno sferoide oblato , si ha una sfera
Si definiscono assi centrali di inerzia gli assi di simmetria dell'ellissoide che formano un sistema di riferimento centrato nel baricentro dell'ellissoide.
Parametrizzazione Utilizzando le coordinate comuni, dove è un punto di latitudine riduzione, o parametrico, e è la sua longitudine planetografica, un ellissoide può essere parametrizzato nel seguente modo:
(Si noti che questa non è parametrizzazione 1-1 ai poli, dove )
Oppure, utilizzando il sistema di coordinate sferiche, dove è la colatitudine, detta anche zenit, e è la longitudine di 360°, detta anche azimuth:
Volume Il volume di un ellissoide si ottiene semplicemente da quello di una sfera e dall'effetto delle omotetie:
Area superficiale L'area superficiale, invece, è fornita da espressioni molto più elaborate. Un'espressione esatta è:
dove:
mentre , denotano gli integrali ellittici incompleti di primo e secondo genere rispettivamente.
Sono disponibili anche espressioni approssimate: ellissoide piatto: sferoide prolato: sferoide oblato: ellissoide scaleno:
Se si utilizza p = 1,6075 si ha un errore relativo al più dell'1,061% (formula di Knud Thomsen); un valore p = 8/5 = 1,6 è ottimale per gli ellissoidi quasi sferici e presenta un errore relativo inferiore all'1,178% (formula di David W. Cantrell).
Manipolazioni lineari Se si applica una trasformazione lineare invertibile a una sfera, si ottiene un ellissoide; in conseguenza del teorema spettrale questo ellissoide si può ricondurre alla forma standard.
L'intersezione di un ellissoide con un piano può essere o l'insieme vuoto, o un insieme contenente un singolo punto, o un'ellisse.
Dimensioni superiori Si può anche definire un ellissoide in più di 3 dimensioni, come immagine di un'ipersfera sottoposta a una trasformazione lineare invertibile. Il teorema spettrale garantisce ancora la possibilità di ottenere un'equazione standard della forma
.
Voci correlate Paraboloide Iperboloide Ellissoide di riferimento Ellissoide astroidale Sfera locale
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