La contrattazione cooperativa è un processo in cui due soggetti decidono come ripartire un surplus che possono generare congiuntamente. In molti casi il surplus creato dai due giocatori può essere suddiviso in modi diversi, costringendo le parti a negoziare quale divisione dei guadagni scegliere. Problemi di ripartizione di questo tipo (detti anche problemi di contrattazione) si presentano, ad esempio, tra dirigenza e lavoratori nella divisione del profitto di un'impresa, oppure tra partner commerciali nella definizione delle condizioni di scambio.
Questa voce si concentra sull'approccio normativo alla contrattazione, che studia come il surplus dovrebbe essere ripartito, formulando assiomi desiderabili che la soluzione di un problema di contrattazione dovrebbe soddisfare. Tale approccio è utile quando entrambe le parti sono disposte a cooperare per attuare una soluzione equa. Soluzioni di questo tipo, in particolare la soluzione di Nash, sono state impiegate per risolvere problemi economici concreti, come i conflitti tra dirigenza e lavoratori.Thomson, William (1994). "Cooperative models of bargaining", Handbook of Game Theory with Economic Applications, vol. 2, Elsevier, pp. 1237–1284.
Un approccio alternativo è quello positivo, che studia come il surplus viene effettivamente ripartito. In tale approccio la procedura di contrattazione è modellata come un gioco non cooperativo; la forma più comune è la cosiddetta contrattazione sequenziale.
Descrizione formale Un problema di contrattazione tra due persone è costituito da: un insieme delle soluzioni ammissibili , un sottoinsieme chiuso di spesso assunto convesso, i cui elementi sono interpretati come accordi; un punto di disaccordo (o punto di minaccia) , dove e sono i guadagni rispettivi del giocatore 1 e del giocatore 2, garantiti nel caso in cui non si raggiunga un accordo reciproco.
Il problema è non banale se gli accordi in sono migliori per entrambe le parti rispetto al punto di disaccordo. Una soluzione del problema seleziona un accordo in .
Insieme delle soluzioni ammissibili Gli accordi ammissibili includono tipicamente tutte le possibili azioni congiunte, generando un insieme di soluzioni che comprende tutti i guadagni possibili. Spesso tale insieme è ristretto ai soli guadagni che possono essere migliori del punto di disaccordo per entrambi gli agenti.Nash, John (1953). "Two-Person Cooperative Games". Econometrica. 21 (1): 128–140.
Punto di disaccordo Il punto di disaccordo è il valore che i giocatori possono attendersi di ricevere se le trattative falliscono. Poiché tale punto influisce direttamente sulla soluzione, è ragionevole che ciascun giocatore cerchi di scegliere il proprio punto di disaccordo in modo da massimizzare la propria posizione negoziale. A tal fine è spesso vantaggioso aumentare il proprio guadagno in caso di disaccordo riducendo al contempo quello dell'avversario (da cui l'interpretazione del disaccordo come minaccia). Se le minacce sono viste come azioni, si può costruire un gioco distinto in cui ciascun giocatore sceglie una minaccia e riceve un guadagno in base all'esito della contrattazione: è il cosiddetto gioco a minaccia variabile di Nash.
Gioco di contrattazione di Nash John Forbes Nash Jr. elaborò la soluzione di contrattazione di Nash. È l'unica soluzione di un problema di contrattazione tra due persone che soddisfa gli assiomi di invarianza di scala, simmetria, efficienza e indipendenza dalle alternative irrilevanti. Secondo Paul Walker, John Harsanyi dimostrò che la soluzione di Nash coincide con la soluzione di Zeuthen del problema di contrattazione.
Il gioco di contrattazione di Nash è un semplice gioco a due giocatori usato per modellare le interazioni di contrattazione. In esso i due giocatori richiedono una parte di un bene (di solito una somma di denaro). Se il totale richiesto è inferiore o pari alla quantità disponibile, entrambi ottengono quanto richiesto; se invece è superiore, nessuno ottiene nulla.
Nash (1953) presenta un gioco di domanda non cooperativo con due giocatori incerti su quali coppie di guadagni siano ammissibili. Al limite, quando l'incertezza svanisce, i guadagni di equilibrio convergono a quelli previsti dalla soluzione di contrattazione di Nash.
Analisi dell'equilibrio Nel gioco di domanda di Nash le strategie sono rappresentate da una coppia (x, y), dove x e y sono scelti nell'intervallo [d, z], con d esito di disaccordo e z quantità totale del bene. Se x + y è minore o uguale a z, il primo giocatore riceve x e il secondo y; altrimenti entrambi ricevono d (spesso ).
Esistono molti equilibri di Nash in questo gioco: qualunque x e y tali che x + y = z è un equilibrio di Nash. Se uno dei giocatori aumenta la propria richiesta, entrambi non ottengono nulla; se la riduce, ottiene meno di quanto avrebbe avuto. Vi è anche un equilibrio di Nash in cui entrambi richiedono l'intero bene: in tal caso nessuno ottiene nulla, ma nessuno può migliorare il proprio esito cambiando unilateralmente strategia.
Nel modello di contrattazione a offerte alternate di Rubinstein i giocatori si alternano nel proporre la divisione di un surplus. La divisione nell'unico equilibrio perfetto nei sottogiochi dipende da quanto i giocatori preferiscono i guadagni presenti rispetto a quelli futuri. Indicando con d il fattore di sconto, Rubinstein dimostrò che, se il surplus è normalizzato a 1, il guadagno del giocatore 1 all'equilibrio è 1/(1+d), mentre quello del giocatore 2 è d/(1+d). Al limite, quando i giocatori diventano perfettamente pazienti, la divisione di equilibrio converge alla soluzione di contrattazione di Nash.
Soluzioni di contrattazione Sono state proposte varie soluzioni, basate su ipotesi leggermente diverse riguardo alle proprietà desiderate per il punto di accordo finale.
Soluzione di contrattazione di Nash John Forbes Nash Jr. propose che una soluzione dovesse soddisfare alcuni assiomi:Nash, John (1950). "The Bargaining Problem". Econometrica. 18 (2): 155–162. invarianza rispetto alle trasformazioni affini (o invarianza rispetto a rappresentazioni di utilità equivalenti); ottimalità paretiana; indipendenza dalle alternative irrilevanti; simmetria.
Nash dimostrò che le soluzioni che soddisfano questi assiomi sono esattamente i punti in che massimizzano l'espressione:
dove u e v sono le funzioni di utilità del giocatore 1 e del giocatore 2 e d è l'esito di disaccordo. Il prodotto delle due utilità in eccesso è generalmente detto prodotto di Nash. Intuitivamente, la soluzione consiste nel fatto che ciascun giocatore ottiene il proprio guadagno di status quo (cioè il guadagno non cooperativo) più una quota dei benefici derivanti dalla cooperazione.Muthoo, Abhinay (1999). Bargaining theory with applications. Cambridge University Press.
Soluzione di contrattazione di Kalai – Smorodinsky
L'indipendenza dalle alternative irrilevanti può essere sostituita con un assioma di monotonia delle risorse, come suggerito da Ehud Kalai e Meir Smorodinsky.Kalai, Ehud; Smorodinsky, Meir (1975). "Other solutions to Nash's bargaining problem". Econometrica. 43 (3): 513–518. Ciò conduce alla regola di Kalai – Smorodinsky, che seleziona il punto che mantiene costante il rapporto dei guadagni massimi. In altri termini, normalizzando il punto di disaccordo a (0,0), se il giocatore 1 può ottenere al massimo con l'aiuto del giocatore 2 (e viceversa per ), la soluzione produce il punto sulla frontiera di Pareto tale che .
Soluzione di contrattazione egalitaria La soluzione di contrattazione egalitaria, introdotta da Ehud Kalai, abbandona la condizione di invarianza di scala mantenendo sia l'assioma di indipendenza dalle alternative irrilevanti sia quello di monotonia delle risorse. In tali condizioni la soluzione cerca di garantire un guadagno uguale a entrambe le parti: è il punto che massimizza il guadagno minimo tra i giocatori. Kalai osserva che questa soluzione è strettamente collegata alle idee egalitarie di John Rawls.Kalai, Ehud (1977). "Proportional solutions to bargaining situations: Intertemporal utility comparisons". Econometrica. 45 (7): 1623–1630.
Soluzioni sperimentali Una serie di studi sperimentali non ha trovato un sostegno coerente per nessuno dei modelli di contrattazione. Alcuni partecipanti raggiungevano risultati simili a quelli dei modelli, altri no, concentrandosi invece su soluzioni concettualmente semplici e vantaggiose per entrambe le parti. L'equilibrio di Nash era l'accordo più frequente (moda), ma l'accordo medio era più vicino a un punto basato sull'utilità attesa.Felsenthal, D.S.; Diskin, A. (1982). "The Bargaining Problem Revisited". Journal of Conflict Resolution. 26 (4): 664–691. Nelle trattative reali i partecipanti cercano spesso prima una formula negoziale generale e solo successivamente ne definiscono i dettagli.
Applicazioni Kenneth Binmore ha usato il gioco di contrattazione di Nash per spiegare l'emergere degli atteggiamenti umani verso la giustizia distributiva.Binmore, Kenneth (1998). Game Theory and the Social Contract Volume 2: Just Playing. Cambridge: MIT Press. Egli ricorre principalmente alla teoria dei giochi evolutiva per spiegare come gli individui arrivino a ritenere che una divisione 50–50 sia l'unica soluzione giusta. Herbert Gintis sostiene una teoria analoga, secondo cui gli esseri umani si sono evoluti con una predisposizione alla reciprocità forte.Gintis, H. (2016). "Behavioral ethics meets natural justice". Politics, Philosophy & Economics. 5 (1): 5–32.
Soluzioni di contrattazione e avversione al rischio Alcuni economisti hanno studiato gli effetti dell'avversione al rischio sulla soluzione di contrattazione. Confrontando due problemi simili A e B, in cui lo spazio ammissibile e l'utilità del giocatore 1 restano fissi ma il giocatore 2 è più avverso al rischio in A che in B, il guadagno del giocatore 2 nella soluzione di Nash risulta minore in A che in B.Osborne, Martin (1994). A Course in Game Theory. MIT Press. Ciò vale però solo se l'esito è certo; se l'esito è rischioso, un giocatore avverso al rischio può ottenere un accordo migliore, come dimostrato da Alvin E. Roth e Uriel Rothblum.Roth, Alvin E.; Rothblum, Uriel G. (1982). "Risk Aversion and Nash's Solution for Bargaining Games with Risky Outcomes". Econometrica. 50 (3): 639.
Note
Voci correlate Teoria dei giochi Equilibrio di Nash John Forbes Nash Gioco dell'ultimatum
Categoria:Teoria dei giochi