In matematica, il lemma di Dini fornisce una condizione sufficiente per ottenere la convergenza uniforme di una successione di funzioni continue convergente puntualmente ad una funzione continua ed ha svariate applicazioni nell'analisi matematica e in particolare nell'analisi funzionale.

Enunciato Sia uno spazio metrico compatto e sia una successione di funzioni continue da in tale che:

e che:

dove è una funzione continua. Allora la successione tende a uniformemente su .

La successione può essere supposta monotona decrescente anziché crescente, cioè . Inoltre, la continuità del limite è essenziale, come risulta dal seguente semplice esempio: sia e per . Le ipotesi del teorema sono tutte soddisfatte (con monotonia decrescente) salvo la continuità del limite che risulta essere la funzione definita da per e . Tale funzione non è continua su e la convergenza della successione non può essere uniforme. Ricordiamo infatti che il limite uniforme di funzioni continue è necessariamente continuo.

Dimostrazione Fissato , per ogni si definisce l'insieme:

Per la continuità di e di l'insieme è aperto per ogni , e per la monotonia della successione si ha per ogni . Inoltre, risulta:

poiché, fissato , esiste un naturale , dipendente da , tale che .

La famiglia è pertanto un ricoprimento aperto di e, per la compattezza di , esiste sottoricoprimento finito , dove è un sottoinsieme finito di . Detto il massimo elemento di , per la proprietà di inclusione della famiglia degli insiemi , risulta e ciò implica, ricordando la monotonia della successione, che:

per ogni e per ogni . Per l'arbitrarietà di si ha la tesi.

Bibliografia Rudin, Walter R. (1976) Principles of Mathematical Analysis, Third Edition, McGraw–Hill. Vedi il Teorema 7.13 a pagina 150 per il caso in cui la successione è decrescente. Bartle, Robert G. and Sherbert Donald R.(2000) Introduction to Real Analysis, Third Edition Wiley. p 238. – Presents a proof using gauges.

Voci correlate Spazio compatto Spazio metrico Successione di funzioni

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Categoria:Analisi funzionale Dini, lemma di