In matematica, l'addizione pitagorica è una operazione binaria sui numeri reali che calcola la lunghezza dell'ipotenusa di un triangolo rettangolo, dati i suoi due cateti. Come le più note operazioni di addizione e moltiplicazione dell'aritmetica, è sia associativa che commutativa.

Questa operazione può essere utilizzata nella conversione delle coordinate cartesiane in coordinate polari e nel calcolo della distanza euclidea. Fornisce inoltre una notazione e una terminologia semplici per il diametro di un parallelepipedo, la relazione energia-impulso in fisica e il rumore complessivo da sorgenti di rumore indipendenti. Nelle sue applicazioni all'elaborazione del segnale e alla propagazione dell'incertezza di misura, la stessa operazione è anche chiamata addizione in quadratura. Una versione scalata di questa operazione fornisce la media quadratica o radice quadrata media.

È disponibile in molte librerie di programmazione come funzione hypot (abbreviazione di ipotenusa), implementata in modo da evitare errori dovuti a calcoli di precisione limitata eseguiti sui computer. Donald Knuth ha scritto che "la maggior parte delle operazioni di radice quadrata nei programmi per computer potrebbero probabilmente essere evitate se [l'addizione pitagorica] fosse più ampiamente disponibile, perché le persone sembrano voler estrarre le radici quadrate principalmente quando calcolano le distanze". Sebbene il teorema di Pitagora sia antico, la sua applicazione nel calcolo delle distanze iniziò nel XVIII secolo e i vari nomi per questa operazione entrarono in uso nel XX secolo.

Definizione

Secondo il teorema di Pitagora, in un triangolo rettangolo di lati e la lunghezza dell'ipotenusa può essere calcolata come Questa formula definisce l'operazione di addizione pitagorica, qui indicata come : per due numeri reali qualsiasi e , il risultato di questa operazione è definito come

Per esempio, il triangolo rettangolo speciale basato sulla terna pitagorica dà Tuttavia, il risultato intero di questo esempio non è usuale: per la maggior parte degli argomenti interi, l'addizione pitagorica dà come risultato un numero irrazionale quadratico.

Proprietà L'operazione è associativa e commutativa. Pertanto, se tre o più numeri devono essere combinati con questa operazione, l'ordine di combinazione non fa alcuna differenza per il risultato, che può essere espresso senza bisogno di parentesi come

Inoltre, sui numeri reali non negativi, lo zero è un elemento identità per l'addizione pitagorica. Sui numeri che possono essere negativi, la somma pitagorica con zero fornisce il valore assoluto:

Le tre proprietà di associatività, commutatività e di avere un elemento identità (sui numeri non negativi) sono le proprietà che definiscono un monoide commutativo.

Applicazioni Distanza e diametro

La distanza euclidea tra due punti nel piano euclideo, data dalle loro coordinate cartesiane e , è

Allo stesso modo, la distanza tra i punti nello spazio tridimensionale e può essere trovata tramite l'addizione pitagorica ripetuta:

L'addizione pitagorica può anche trovare la lunghezza di una diagonale interna di un rettangolo o di un parallelepipedo rettangolare. Per un rettangolo con lati e , la lunghezza della diagonale è Per un parallelepipedo di lati , , e , la lunghezza della diagonale principale è

Conversione delle coordinate L'addizione pitagorica (e la sua implementazione come funzione hypot ) è spesso utilizzata insieme alla funzione atan2 (una forma a due parametri dell'arcotangente) per convertire dalle coordinate cartesiane alle coordinate polari :

Media quadratica e dispersione della deviazione Il valore efficace, o media quadratica, di un insieme finito di numeri è volte la loro somma pitagorica. Esso è una media generalizzata dei numeri.

La deviazione standard di una raccolta di osservazioni è la media quadratica delle loro singole deviazioni dalla media. Quando vengono sommate due o più variabili aleatorie indipendenti, la deviazione standard della loro somma è la somma pitagorica delle loro deviazioni standard. Pertanto, la somma pitagorica stessa può essere interpretata come una misura della quantità di rumore complessivo quando si combinano fonti di rumore indipendenti.

Se le tolleranze ingegneristiche di diverse parti di un assemblaggio vengono trattate come rumore indipendente, possono essere combinate utilizzando una somma pitagorica. Nelle scienze sperimentali come la fisica, l'addizione in quadratura viene spesso utilizzata per combinare diverse fonti di incertezza di misura. Tuttavia, questo metodo di propagazione dell'incertezza si applica solo quando non c'è correlazione tra le fonti di incertezza, ed è stato criticato per aver confuso il rumore sperimentale con gli errori sistematici.

Implementazione In un articolo del 1983, Cleve Moler e Donald Morrison descrissero un metodo iterativo per calcolare le somme pitagoriche, senza estrarre le radici quadrate. Questo fu presto riconosciuto come un esempio del metodo di Halley, ed esteso ad operazioni analoghe sulle matrici.

Sebbene molte implementazioni moderne di questa operazione calcolino le somme pitagoriche riducendo il problema alla funzione radice quadrata, lo fanno in un modo progettato per evitare errori derivanti dai calcoli a precisione limitata eseguiti sui computer. Se calcolato utilizzando la formula naturale

i quadrati dei valori molto grandi o piccoli di e possono superare l'intervallo di precisione della macchina quando calcolati su un computer. Ciò può portare a un risultato impreciso causato da underflow e overflow aritmetici, sebbene quando overflow e underflow non si verificano l'output sia entro due unità in ultima precisione (ulp) dal risultato esatto. Le implementazioni comuni della funzione hypot riorganizzano questo calcolo in modo da evitare il problema di overflow e underflow e sono ancora più precise.

Se uno dei due input di hypot è infinito, il risultato è infinito. Poiché questo è vero per tutti i possibili valori dell'altro input, lo standard IEEE 754 per la virgola mobile richiede che ciò rimanga vero anche quando l'altro input non è un numero (NaN).

Ordine di calcolo La difficoltà con l'implementazione ingenua è che può andare in overflow o underflow, a meno che il risultato intermedio non venga calcolato con precisione estesa. Una tecnica di implementazione comune consiste nello scambiare i valori, se necessario, in modo che , e quindi utilizzare la forma equivalente

Il calcolo di non può andare in overflow a meno che e siano entrambi zero. Se va in underflow, il risultato finale è uguale a , che è corretto entro la precisione del calcolo. Viene calcolata la radice quadrata di un valore compreso tra 1 e 2. Infine, la moltiplicazione per non può essere andare in underflow, e va in overflow solo quando il risultato è troppo grande per essere rappresentato.

Uno svantaggio di questa riorganizzazione è la divisione aggiuntiva per , il che aumenta sia il tempo che l'imprecisione del calcolo. Implementazioni più complesse evitano questi costi suddividendo gli input in più casi:

Quando è molto più grande di , , entro la precisione della macchina. Quando andrebbe in overflow, si moltiplicano e per un piccolo fattore di scala (ad esempio per la precisione singola IEEE), si usa l'algoritmo ingenuo che non andrà in overflow e in fine si moliplica il risultato per l'inverso (grande) del fattore di scala (in questo esempio, ). Quando andrebbe in underflow, si scala come sopra ma invertendo i fattori di scala per aumentare i valori intermedi. Altrimenti, l'algoritmo ingenuo è sicuro da usare.

Tecniche aggiuntive consentono di calcolare il risultato in modo più accurato rispetto all'algoritmo ingenuo, ad esempio a meno di una ulp. Sono anche stati sviluppati algoritmi analoghi per calcolare somme pitagoriche di più di due valori.

Approssimazione veloce L'algoritmo alfa max più beta min è un'approssimazione ad alta velocità dell'addizione pitagorica che utilizza solo confronto, moltiplicazione e addizione, producendo un valore il cui errore è inferiore al 4% del risultato corretto. Viene calcolato come

per una scelta oculata dei parametri e .

Storia Il teorema di Pitagora su cui si basa questa operazione è stato studiato nell'antica matematica greca e potrebbe essere stato conosciuto in precedenza nella matematica egizia e babilonese. Tuttavia, il suo utilizzo per calcolare le distanze in coordinate cartesiane non poté avvenire fino a dopo che René Descartes inventò queste coordinate nel 1637; la formula per la distanza da queste coordinate fu pubblicata da Alexis Clairaut nel 1731.

I termini "addizione pitagorica" e "somma pitagorica" per questa operazione sono stati utilizzati almeno a partire dagli anni 1950; e il suo utilizzo nell'elaborazione del segnale come "addizione in quadratura" risale almeno al 1919.

Dagli anni 1920 agli anni 1940 del Novecento, prima dell'uso diffuso dei computer, numerosi progettisti di regoli calcolatori hanno incluso scale di radice quadrata nei loro dispositivi, consentendo il calcolo meccanico delle somme pitagoriche. I ricercatori hanno anche studiato circuiti analogici per approssimare il valore delle somme pitagoriche.

Note

Collegamenti esterni

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