Il metodo di Tartinville è utilizzato per discutere le soluzioni di un'equazione di secondo grado i cui coefficienti dipendano da un parametro. In particolare permette di studiare per quali valori di tale parametro l'equazione abbia soluzioni e se tali soluzioni siano in un intervallo predefinito. Il metodo è indiretto, non richiede infatti la soluzione dell'equazione. Più formalmente sia e si abbia uno dei seguenti sistemi misti:
In definitiva si vuole discutere i valori delle soluzioni dell'equazione di secondo grado in relazione all'intervallo individuato dai parametri ed . Simile al metodo di Tartinville è il metodo di Tartinville-Girod che tratta il solo primo sistema misto.
Parametri da considerare Assumiamo, per ora, che ed non dipendano da . Assumiamo anche che per i valori di di interesse non si annulli per nessun valore di . In caso contrario l'equazione diviene di primo grado e basterà confrontare direttamente il risultato (indipendente da ) con ed . In quanto segue sia assume . Per risolvere il problema si devono studiare le seguenti disequazioni:
Qui è il discriminante dell'equazione di secondo grado mentre è il valore medio delle radici di tale equazione.
La prima disequazione permette di stabilire se l'equazione di secondo grado ammetta o meno dei risultati. Se l'equazione non ha alcuna soluzione, se l'equazionni ha due soluzioni reali e coincidenti, se le soluzioni sono due e distinte.
La disequazione permette di definire il verso della concavità della parabola:
Se la concavità è rivolta verso l'alto e se la concavità è rivolta verso il basso.
Si possono avere i casi seguenti:
e
In questo caso essendo e le due radici si ha che esternamente all'intervallo .
e
In questo caso si ha che internamente all'intervallo .
Se allora in e ha lo stesso segno di in tutti gli altri punti.
Le disequazioni e permettono di trovare il segno di e nei punti ed al variare di . Unendo questa informazione a quanto illustrato sopra si può, in alcuni casi, trovare la soluzione. Se, ad esempio, valgono , e , allora dovrà essere necessariamente . La parabola associata , infatti, ha la concavità verso l'alto ed essendo deve necessariamente essere a sinistra di (dove la parabola è positiva) ed tra e dove la parabola è negativa. Se però i valori di e hanno lo stesso segno ed e si trovano esternamente all'intervallo (, ) allora non è possibile, con le informazioni disponibili, determinare se si trovino entrambi nell'intervallo di destra o di sinistra oppure uno a destra e uno a sinistra.
Si studiano, allora, le disequazioni e . Tali disequazioni permettono di determinare se ed si trovino, ciascuno, a destra o sinistra del valor medio di e e quindi in quale dei due intervalli esterni.
Casi possibili La tabella seguente elenca tutti i 18 casi nell'ipotesi che sia .
Soluzioni Caso 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Generalizzazione Nel caso che sia tutto quanto detto vale sostituendo alle disequazioni e le disequazioni e come si può verificare facilmente.
Può accadere che anche e dipendano da . In questo caso quanto sopra rimane valido alla condizione che sia mantenuto .
Storia Arthur Tartinville era un matematico francese nato nel 1847 a Briarres-sur-Essonne, Loiret e morto nel 1896. Descrisse il suo metodo per la discussione di equazioni di secondo grado nel suo scritto Théorie des équations et des inéquations du premier e du second degré à une inconnue.
Il metodo fu usato nei licei scientifici fino alla seconda metà del secolo scorso e andò poi gradualmente in disuso.
Il metodo fu criticato da Bruno de Finetti, che si occupò anche di didattica della matematica. Si cita a proposito l'articolo Come liberare l’Italia dal morbo della trinomite del 1965. Egli riteneva esagerata l'insistenza su problemi geometrici risolubili mediante discussione di equazioni parametriche di secondo grado ed inoltre riteneva che il metodo fosse spesso applicato in modo algoritmico con scarsa comprensione delle logiche che ne sono alla base.
Peraltro, avendo in mente la parabola associata, la posizione del suo vertice e i segni dei valori assunti dalla parabola agli estremi dell'intervallo il metodo conduce abbastanza facilmente ai risultati.
Esempio
Per chiarire le modalità operative si sviluppa un esempio.
Si studia il sistema misto
Si vogliono le soluzioni dell'equazione comprese tra e , estremi compresi.
Il coefficiente di è sempre positivo.
Poiché , si ha per e quindi per . Ciò viene rappresentato nel grafico con la prima linea in alto: linea continua valori positivi, linea tratteggiata valori negativi e un cerchietto ad indicare il valore che annulla il .
Si continua con il calcolo di e . Si ha che , quindi è sempre positivo tranne che in dove si annulla (seconda riga del grafico). Inoltre , quindi per (terza riga del grafico).
Infine si calcolano e . Vale quindi per , ossia . Vale infine per , ossia .
Si può ora studiare cosa accade nei vari intervalli del grafico.
Per si ha , e inoltre è maggiore sia di che di . Con riferimento al grafico, ci troviamo, quindi, nel caso 1: e il sistema non ha soluzioni. Considerando la parabola associata all'equazione , la concavità è rivolta verso l'alto e l'ascissa del suo vertice, , è a destra dell'intervallo agli estremi del quale la parabola assume valore positivo. Si deduce che l'intervallo è a sinistra di entrambi gli zeri.
Per si annulla ( è uno zero dell'equazione) senza che si modifichi il segno di . Ci troviamo nel caso 7 della tabella: e il sistema ammette una soluzione che è la minore dell'equazione e coincide con l'estremo superiore dell'intervallo .
Per si verifica che e ci troviamo nel caso 10: e il sistema ammette una soluzione. Lo zero si è spostato all'interno dell'intervallo .
Si noti che i valori che annullano e , in questo esempio e , non intervengono come caposaldi nella discussione; servono solo a distinguere tra i vari casi possibili. Quando o significa solamente che il valor medio degli zeri dell'equazione coincide con un estremo dell'intervallo ; evidentemente per valori di che si discostano da quelli che annullano tali equazioni senza modificare le altre disequazioni la posizione degli zeri non si modifica. Per tale motivo le righe verticali nella tabella in corrispondenza dei valori che annullano e sono tratteggiati e i valori tra parentesi tonde.
Per si annulla ( è uno zero dell'equazione). In questo caso e ci troviamo nel caso 9 della tabella: e il sistema ammette due soluzioni delle quali la minore interna all'intervallo e la maggiore coincidente con l'estremo superiore dell'intervallo .
Per si verifica che e , inoltre . Ci troviamo quindi nel caso 3 della tabella: e il sistema ammette due soluzioni la minore delle quali coincidente con l'estremo inferiore dell'intervallo .
Per si annulla ( è uno zero dell'equazione). Si ha inoltre . Ci troviamo nel caso 11 della tabella: e il sistema ammette due soluzioni delle quali la minore interna all'intervallo e la maggiore coincidente con l'estremo superiore dell'intervallo .
Per ci troviamo ancora nel caso 3 della tabella: e il sistema ammette due soluzioni interne all'intervallo .
Per si annulla e quindi i due zeri coincidono. Dato che , e ci troviamo nel caso 4 della tabella: il sistema ammette due soluzioni delle quali la minore interna all'intervallo .
Per il è negativo e non abbiamo altre soluzioni.
+ Riassunto delle soluzioni Disposizione Risultato Caso Nessuna soluzione 1 Una soluzione (estremo inferiore) 7 Una soluzione 10 Due soluzioni delle quali una all'estremo superiore 9 Due soluzioni 3 Due soluzioni delle quali una all'estremo inferiore 11 Due soluzioni 3 Due soluzioni coincidenti 4 Nessuna soluzione
Note
Bibliografia Ugo Amaldi e Federigo Enriques, Complementi di algebra e nozioni di analisi, Zanichelli, 1953 L. Berzolari, G. Vivanti e D. Gigli, Enciclopedia delle Matematiche elementari e complementi Vol. I Parte II, Hoepli, 1932 E. Cattaneo e C. Romanini, Complementi di matematica Vol.primo, Paravia, 1952 Roberto Ferrauto, Elementi di algebra per i licei classici e scientifici Vol. secondo, Società editrice Dante Alighieri, 1969 Roberto Ferrauto, Il problema geometrico e la geometria analitica, Società editrice Dante Alighieri, 1967 Vittorio Emanuele Gariglio, La discussione dei problemi di secondo grado nella teoria e nella pratica, Società Editrice Internazionale, 1941 Severino Villatico e Aldo Pietrosanti, Compementi di matematica, Barjes, 1964 Enciclopedia della matematica, Garzanti, 2013
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