Carriera universitaria Shough disputò tre partite nella sua prima stagione a Oregon nel 2018, giocando 18 snap.

Nel 2019 Shough fu la riserva di Justin Herbert, chiudendo la stagione con 144 yard passate e 3 touchdown in otto gare da subentrato.

Prima dell’inizio della stagione 2020, con Herbert passato tra i professionisti, il capo-allenatore Mario Cristobal indicò che Shough sarebbe stato il quarterback titolare. In una stagione accorciata per la pandemia di COVID-19, Oregon e gli altri membri della Pac-12 iniziarono a giocare nel mese di novembre. Shough vinse la prima gara come titolare contro Stanford 35–14. Shough disputò tutte le gare come titolare, inclusa la finale della Pac-12 vinta contro USC.

Le prestazioni di Shough furono messe in discussione quando i nettamente favoriti Ducks persero due gare consecutive contro Oregon State e California. A causa di tali sconfitte, Oregon non si sarebbe qualificata per la finale della Pac-12 se Washington State non avesse cancellato la gara contro Oregon a causa delle restrizioni per il COVID-19, in una gara che avrebbe deciso il vincitore della division. Anche se Shough partì come titolare nella finale della Pac-12 contro USC, il nuovo arrivo dal Boston College Anthony Brown iniziò a giocare le serie offensive.

Oregon fu selezionata per giocare il Fiesta Bowl, tenutosi a Glendale, Arizona, nell’area metropolitana di Phoenix dove era cresciuto. L’avversario fu Iowa State, guidata dal quarterback Brock Purdy di Gilbert, Arizona. Oregon perse la partita ma un drive da 98 yard concluso in touchdown orchestrato da Brown portò incertezza nel ruolo di quarterback. Il 12 febbraio 2021 Shough annunciò che avrebbe cambiato istituto, con altri tre anni di eleggibilità nel college football.

Texas Tech Il 22 febbraio 2021 Shough annunciò che si sarebbe trasferito a Texas Tech. Lì compete per il ruolo di titolare con Henry Colombi, Maverick McIvor, Donovan Smith e Behren Morton. Nella partita primaverile completò 8 passaggi su 15 per 106 yard. Il 24 agosto il capo-allenatore Matt Wells annunciò che Shough sarebbe partito come titolare nella prima gara della stagione contro Houston. In quella partita complete 17 passaggi su 24 per 231 yard, un touchdown passato e uno segnato su corsa nella vittoria per 38–21. Nel quarto turno contro Texas si ruppe una vertebra.

Prima della stagione 2022, Shough competé per il ruolo da titolare con Donovan Smith. Il 21 agosto fu nominato titolare per la gara del primo turno contro Murray State. In quella partita fu costretto a uscire già nel primo quarto a causa di un infortunio, non facendo più ritorno in campo. Successivamente fu annunciato un infortunio alla spalla destra che lo avrebbe tenuto fuori per almeno due settimane. Nell’ultima gara della stagione regolare contro Oklahoma, Shough passò un record in carriera di 436 yard nella vittoria per 51–48 ai tempi supplementari. Nel Texas Bowl contro Ole Miss passò 242 yard e un touchdown e un record in carriera di 111 yard corse e 2 touchdown su corsa nella vittoria per 42–25, venendo premiato come miglior giocatore dell’incontro.

Nel quarto turno della stagione 2023 contro West Virginia, Shough si infortunò a una caviglia, uscendo in barella. In seguito fu diagnosticata una rottura del perone che richiese un intervento chirurgico. Il 20 novembre 2023 annunciò che avrebbe cambiato nuovamente istituto.

Louisville

Il 5 dicembre 2023 Shough annunciò che avrebbe giocato per Louisville. Nella stagione 2024 guidò i Cardinals a un record di 8–4, 5–3 nella ACC. Tra le sue prestazioni degne di nota vi furono una gara da 342 yard e 4 touchdown nella sconfitta 52–contro Miami in casa e il ruolo determinante avuto nella vittoria a sorpresa per 33–21 su Clemson in trasferta. Chiuse l’annata al 14º posto nella FBS in yard totali (3.195) e 22º in passaggi da touchdown (23).

L'11 dicembre 2024 Shough annunciò che non sarebbe sceso in campo nel Sun Bowl contro Washington per prepararsi per il Draft NFL. Il 17 dicembre 2024 Shough fu annunciato come uno dei tre vincitori del premio di Comeback Player of the Year assegnato da College Sports Communicators (CSC).

Carriera professionistica New Orleans Saints Stagione 2025 Shough fu scelto nel corso del secondo giro (40º assoluto) del Draft NFL 2025 dai the New Orleans Saints. Debuttó come professionista nel terzo turno contro i Seattle Seahawks subentrando al titolare Spencer Rattler nel finale a risultato ormai irrecuperabile, non completando nessuno dei due passaggi tentati nella sconfitta per 44-13. Trovò maggior spazio nell'ottavo turno subentrando all'inefficace Rattler, completando 17 passaggi su 30 per 128 yard e subendo un intercetto e due sack nella netta sconfitta contro i Tampa Bay Buccaneers. La partita successiva fu nominato per la prima volta titolare. In quella partita contro i Los Angeles Rams ebbe una partenza lenta dopo di che completò alcuni buoni passaggi, culminando con il primo passaggio da touchdown in carriera con un lancio da 19 yard per Juwan Johnson. Nel secondo tempo tuttavia, l'attacco dei Saints fu raramente in possesso del pallone e la squadra fu sconfitta con un netto 34-10. Di diverso tenore fu la prestazione della settimana successiva in cui colse la prima vittoria contro i Carolina Panthers passando 282 yard (record di franchigia per un rookie) e 2 touchdown, con un passer rating di 128,9 che fu il secondo di sempre per una matricola dei Saints dopo Archie Manning nel 1971.

La seconda vittoria giunse a sorpresa nella settimana 14 contro i Tampa Bay Buccaneers in cui corse un nuovo primato personale di 55 yard e segnó due touchdown su corsa. Sette giorni dopo New Orleans batté i Panthers con Shough che guidò il drive vincente da cui scaturì il field goal decisivo. La sua partita si chiuse con 272 yard passate e un touchdown. La terza vittoria consecutiva giunse contro i New York Jets in cui passò 308 yard e un touchdown. Sette giorni dopo, dopo una partenza lenta, guidò New Orleans alla vittoria in rimonta contro i Tennessee Titans passando un massimo stagionale di 333 yard con due touchdown nel 34-26 finale. Divenne così il terzo rookie dalla fusione AFL-NFL del a passare 300 yard in due gare consecutive senza subire intercetti, dopo Dak Prescott () e Joe Burrow (). Dopo l'ultimo mese di gioco fu premiato come miglior rookie offensivo della delle gare di dicembre e gennaio in cui passò 1.316 yard, 5 touchdown e 2 intercetti, con un passer rating di 99,1. La sua prima stagione si chiuse con 2.384 yard passate, 10 touchdown, 6 intercetti e 3 touchdown su corsa in 11 presenze, di cui 9 come titolare, con 5 vittorie, venendo premiato come Pepsi Rookie of the Year, inserito nella formazione ideale dei rookie dalla Pro Football Writers of America e classificandosi secondo nel premio di rookie offensivo dell'anno.

Stagione 2026 Dopo una sconfitta ai tempi supplementari contro i Detroit Lions all'esordio in cui Shough passò 410 yard, la prima vittoria giunse sette giorni dopo a sorpresa contro i favoriti Baltimore Ravens in cui passò un touchdown e ne segnò uno su corsa.

Palmarès Pepsi Rookie dell'anno - 2025 Rookie offensivo del mese: 1 dicembre 2025/gennaio 2026 PFWA All-Rookie Team - 2025

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