In analisi matematica, lintegrale è un operatore lineare che, nel caso di una funzione di una sola variabile a valori reali non negativi, associa alla funzione l'area sottesa dal suo grafico entro un dato intervallo nel dominio. Se la funzione assume anche valori negativi, allora l'integrale può essere interpretato geometricamente come l'area orientata sottesa dal grafico della funzione.
Sia una funzione continua di una variabile a valori reali e sia un elemento nel dominio di allora dal teorema fondamentale del calcolo integrale segue che l'integrale da a di è una primitiva di .
Storia L'idea di base del concetto di integrale era nota ad Archimede di Siracusa, vissuto tra il 287 e il 212 a.C., ed era contenuta nel metodo da lui usato per il calcolo dell'area del cerchio o dell'area sottesa al segmento di un ramo di parabola, detto metodo di esaustione, già proposta da Eudosso di Cnido.
Nel XVII secolo alcuni matematici trovarono altri metodi per calcolare l'area sottesa al grafico di semplici funzioni, tra di essi figurano, ad esempio, Luca Valerio, Bonaventura Cavalieri, (che scoprì il metodo degli indivisibili negli anni 1640), Pierre de Fermat (1636), Evangelista Torricelli (1658) e Nicolaus Mercator (1668). In quegli stessi anni Pietro Mengoli (1659) diede una prima definizione di integrale.
Nel diciassettesimo e diciottesimo secolo Isaac Newton, Gottfried Leibniz, Johann Bernoulli dimostrarono indipendentemente il teorema fondamentale del calcolo integrale, che ricondusse tale problema alla ricerca della primitiva di una funzione.
La definizione di integrale per le funzioni continue in un intervallo venne inizialmente formulata da Augustin-Louis Cauchy, che a partire dal lavoro di Mengoli, descrisse l'integrale utilizzando la definizione di limite. In seguito Bernhard Riemann propose la sua definizione, in modo da comprendere classi più estese di funzioni. Nel 1875, Gaston Darboux riformulò la definizione già individuata da Cauchy in modo da evitare l'uso di limiti e dimostrando che era del tutto equivalente alla definizione data da Riemann. Per questo motivo spesso si parla di integrale di Riemann-Darboux. Allo scopo di comprendere una classe molto più estesa di funzioni, Henri Lebesgue produsse una definizione di integrale più complessa, attraverso l'introduzione della teoria della misura. In seguito Thomas Stieltjes fu in grado di generalizzare l'integrale di Riemann introducendo il concetto di funzione integratrice e, con un procedimento del tutto analogo, Johann Radon generalizzò l'integrale di Lebesgue. Una definizione d'integrale alternativa a quella di Lebesgue-Radon venne fornita da Percy J. Daniell, che la ricavò a partire dall'integrale di Riemann-Stieltjes.
Notazione Il simbolo che rappresenta l'integrale nella notazione matematica fu introdotto da Leibniz alla fine del XVII secolo. Il simbolo si basa sul carattere ſ (esse lunga), lettera che Leibniz utilizzava come iniziale della parola summa (ſumma), in latino somma, poiché questi considerava l'integrale come una somma infinita di addendi infinitesimali.
La variabile di integrazione, cioè la variabile della funzione integranda, è una variabile muta, cioè ha lo stesso significato di e di . La forma differenziale è il differenziale della variabile di integrazione.
Esistono leggere differenze nella notazione dell'integrale nelle letterature di lingue diverse: il simbolo inglese è inclinato verso destra, quello tedesco è dritto mentre la variante russa è inclinata verso sinistra.
Significato geometrico intuitivo
Sia una funzione reale di variabile reale a valori non negativi. Un modo per approssimare l'area sottesa al grafico della funzione nell'intervallo chiuso è il seguente:
Si divida l'intervallo in porzioni di ampiezza fissata . Per ogni intervallo così ottenuto, si scelga un punto (ad esempio l'estremo inferiore o il punto medio) e si calcoli l'altezza della funzione in quel punto: . Si calcoli l'area di ogni singolo rettangolo avente come base il segmento e come altezza .
Area di un singolo rettangolo:
L'area totale sottesa dal grafico nell'intervallo è approssimabile dalla somma delle aree di tutti i rettangoli:
Questa approssimazione diventa tanto più accurata quanto più la base di ciascun rettangolo è stretta. Al limite, quando l'ampiezza della base tende a zero (), il valore della somma tende al valore esatto dell'area.
Chiamiamo questa base infinitesima "".
Poiché è ora un incremento infinitesimale, il numero di rettangoli necessari per coprire l'intervallo tende a infinito. Rappresentiamo questa "somma infinita" di basi infinitesimali utilizzando la notazione introdotta da Leibniz: l'integrale.
In questo passaggio, il calcolo non fornisce più solo un'approssimazione, ma il valore esatto della superficie che la funzione sottende:
Il fulcro del ragionamento matematico è che, sebbene tenda a zero, esso non è mai esattamente zero. Se fosse nullo, l'area di ogni singolo rettangolo sarebbe zero e la loro somma risulterebbe nulla, rendendo impossibile il calcolo delle aree attraverso l'integrazione.
Questo non contrasta con il fatto che l'integrale calcolato in un punto sia zero. Nel caso di un intervallo con , possiamo costruire esattamente zero rettangoli (non è possibile costruire un rettangolo di base non nulla). Pertanto l'integrale in quel punto non somma alcun valore, dando risultato nullo.
Introduzione euristica Si consideri una funzione reale di variabile reale limitata e definita su un intervallo sull'asse delle ascisse. Quando si procede a calcolare l'integrale di su , allora è detta funzione integranda e l'intervallo è detto intervallo di integrazione e gli estremi e sono detti estremi di integrazione. La figura che ha per bordi il grafico di , l'asse delle ascisse e i segmenti verticali condotti dagli estremi dell'intervallo di integrazione agli estremi del grafico della funzione è detta trapezoide. Il valore dell'integrale della funzione calcolato sull'intervallo di integrazione è uguale all'area (con segno) del trapezoide, cioè il numero reale che esprime tale area orientata viene chiamato integrale (definito) della funzione esteso all'intervallo di integrazione. Con il termine "integrale" o "operatore integrale" si indica anche l'operazione stessa che associa il valore dell'area orientata alla funzione.
Sono stati ideati diversi modi per definire in modo rigoroso l'integrale; a seconda della procedura adottata cambia anche l'insieme delle funzioni che è possibile misurare con un integrale. Un metodo è quello di "approssimare" il grafico della funzione con una linea costituita da uno o più segmenti, in modo che la figura si può scomporre in uno o più trapezi di cui è facile calcolare l'area: la somma algebrica delle aree di tutti i trapezi è allora l'integrale cercato. Un tale approccio è utilizzato per definire l'integrale di Riemann, in cui il calcolo dell'area viene eseguito suddividendo la figura in sottili strisce verticali ottenendo così dei rettangoli. Nello specifico, dividendo un intervallo di integrazione in intervalli del tipo , per , e con e , per ciascun intervallo si può considerare un punto la cui immagine è . Si costruisce allora il rettangolo che ha per base l'intervallo e per altezza . La figura costituita da tutti i rettangoli così costruiti è detta plurirettangolo e l'area del plurirettangolo è detta somma integrale di Cauchy o somma integrale di Riemann-Darboux:
Se al diminuire dell'ampiezza degli intervalli i valori così ottenuti si concentrano in un intorno sempre più piccolo di un numero , la funzione è integrabile sull'intervallo e è il valore del suo integrale.
Se la funzione integrabile è positiva allora l'integrale assume il significato di area della regione:
Se la funzione cambia segno su allora l'integrale rappresenta una somma di aree con segno diverso.
Definizione La prima definizione rigorosa a essere stata formulata di integrale di una funzione su un intervallo è l'integrale di Riemann, formulato da Bernhard Riemann, anche se per definirlo si preferisce utilizzare la formulazione data da Gaston Darboux.
L'integrale di Lebesgue consente di integrare una più vasta classe di funzioni rispetto all'integrale di Riemann. Per mostrare la relazione tra i due integrali è necessario utilizzare la classe delle funzioni continue a supporto compatto, per le quali l'integrale di Riemann esiste sempre. Siano e due funzioni continue a supporto compatto su . Si può definire la loro distanza nel seguente modo:.
Munito della funzione distanza, lo spazio delle funzioni continue a supporto compatto è uno spazio metrico. Il completamento di tale spazio metrico è l'insieme delle funzioni integrabili secondo Lebesgue.Si pone in tale contesto che due funzioni uguali quasi ovunque siano coincidenti..
In letteratura esistono diversi altri operatori di integrazione, tuttavia essi godono di minore diffusione rispetto a quelli di Riemann e Lebesgue.
Integrale di Riemann-Darboux
Sia l'insieme delle funzioni limitate e continue a tratti sull'intervallo , e tali da essere continue da destra:
La norma di tali funzioni può essere definita come:
Consideriamo punti . L'insieme viene detto partizione di . Costruiamo gli intervalli . Sia la funzione indicatrice del -esimo intervallo della partizione. Consideriamo inoltre numeri reali . Chiamiamo funzione costante a tratti, o funzione a scala, una funzione che vale in per ogni . Esplicitamente:
Osserviamo che la funzione è definita solo nell'intervallo , ma possiamo definire . Osserviamo inoltre che le funzioni a scala così definite sono continue da destra e continue a tratti in .
Ogni funzione a scala si può scrivere in forma compatta:
Si può dimostrare che somma e prodotto di funzioni a scala è ancora una funzione a scala. In particolare l'insieme delle funzioni a scala definite nell'intervallo costituisce uno spazio vettoriale normato, con norma data da:
L'insieme è denso in . Si definisce la trasformazione lineare limitata nel seguente modo:.
Si dimostra che un operatore lineare limitato che mappa uno spazio vettoriale normato in uno spazio normato completo può essere sempre esteso in modo unico a un operatore lineare limitato che mappa il completamento dello spazio di partenza nel medesimo spazio di arrivo. Poiché i numeri reali costituiscono un insieme completo, l'operatore può quindi essere esteso a un operatore che mappa il completamento di in .
Si definisce integrale di Riemann-Darboux l'operatore , e si indica con:.
Integrale di Lebesgue
Sia una misura su una sigma-algebra di sottoinsiemi di un insieme . Ad esempio, può essere un n-spazio euclideo o un qualche suo sottoinsieme Lebesgue-misurabile, la sigma-algebra di tutti i sottoinsiemi Lebesgue-misurabili di e la misura di Lebesgue.
Nella teoria di Lebesgue gli integrali sono limitati a una classe di funzioni, chiamate funzioni misurabili. Una funzione è misurabile se la controimmagine di ogni insieme aperto del codominio è in , ossia se è un insieme misurabile di per ogni aperto .. L'insieme delle funzioni misurabili è chiuso rispetto alle operazioni algebriche, e in particolare la classe è chiusa rispetto a vari tipi di limiti puntuali di successioni.
Una funzione semplice è una combinazione lineare finita di funzioni indicatrici di insiemi misurabili.. Siano i numeri reali o complessi i valori assunti dalla funzione semplice e sia:
Allora:
dove è la funzione indicatrice relativa all'insieme per ogni
L'integrale di Lebesgue di una funzione semplice è definito nel seguente modo:
Sia una funzione misurabile non negativa su a valori sulla retta reale estesa. L'integrale di Lebesgue di sull'insieme rispetto alla misura è definito nel seguente modo:.
dove l'estremo superiore è valutato considerando tutte le funzioni semplici tali che . Il valore dell'integrale è un numero nell'intervallo .
L'insieme delle funzioni tali che: