Il teorema del confronto è un teorema di analisi matematica. Assume forme diverse a seconda del contesto, e permette di calcolare il limite di una successione o funzione confrontando questa con altri due oggetti analoghi che "si stringono sempre di più" intorno a quello dato.
È informalmente chiamato teorema dei due carabinieri, per un'allegoria: il teorema sarebbe rappresentato da due carabinieri (due funzioni o successioni che si stringono sempre di più) che conducono in arresto un prigioniero (una funzione o successione ): questo "tende" sicuramente allo stesso punto dove tendono i carabinieri (il limite comune di e ). Sulla base di considerazioni simili, il teorema è talvolta detto anche teorema del sandwich o teorema di compressione.
Successioni Il teorema del confronto per le successioni asserisce che se e sono tre successioni di numeri reali tali che definitivamente (cioè per sufficientemente grande)
e se si ha
allora anche
Dimostrazione Dalla definizione di limite di una successione, si ricava che per ogni esistono tali che:
Quindi per ogni maggiore di si ottiene:
Quindi per ogni esiste un tale che:
In altre parole, la successione tende a .
Esempi La successione:
è "stretta" fra le successioni:
poiché
implica
per ogni . Entrambe e sono infinitesime (convergono cioè a zero), e quindi per il teorema del confronto anche è infinitesima.
Corollario Teoremi di confronto si possono applicare anche per i limiti infiniti. Se sono due successioni tali che:
per ogni , e se
allora anche
Oppure se
per ogni , e se
allora anche
Dimostrazione Corollario Per ipotesi e pertanto, dalla definizione di limite di una successione, per ogni esiste un numero naturale tale che per ogni .
Dato che per ogni si ottiene che:
Quindi:
Funzioni Il teorema del confronto per le funzioni asserisce che, date tre funzioni definite su un dominio di , e dato un punto di accumulazione per , se:
ed esiste un intorno di tale che
allora
Dimostrazione Per la definizione di limite, per ogni esistono due intorni e di tali che:
Quindi
Quindi per ogni esiste un intorno tale che
In altre parole:
Esempio
Un'applicazione importante di questo teorema è la verifica del limite:
Si prenda come riferimento l'immagine a destra. Sia la misura in radianti dell'arco di circonferenza di centro O e raggio unitario.
Allora
Ne segue che
da cui, dividendo per
prendendo i reciproci
sapendo che la disuguaglianza non cambia per e che
sfruttando il teorema del confronto si ottiene:
Bibliografia G. C. Barozzi, Primo corso di analisi matematica, Bologna, Zanichelli, 1998. ISBN 88-080-1169-0. Stewart, James (2008). Multivariable Calculus (6th ed.). pp. 909–910. ISBN 0495011630.
Voci correlate Funzione (matematica) Limite di una successione Limite di una funzione Punto di accumulazione Successione (matematica)
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Collegamenti esterni
Squeeze Theorem by Bruce Atwood (Beloit College) after work by, Selwyn Hollis (Armstrong Atlantic State University), the Wolfram Demonstrations Project.
Categoria:Limiti Confronto