In teoria dei gruppi, il sottogruppo normale (o invariante) è un sottogruppo in cui i laterali sinistro e destro di ogni elemento del gruppo coincidono.
In formule, il sottogruppo è normale se
per ogni elemento . Il fatto che sia normale per si indica con .
I sottogruppi normali sono importanti perché permettono di definire il gruppo quoziente .
Definizioni equivalenti Esistono numerosi modi equivalenti per definire un sottogruppo normale. Tra questi: K è un sottogruppo normale se viene mandato in sé da ogni automorfismo interno:
K è un sottogruppo normale se è chiuso rispetto all'operazione di coniugio
Proprietà Se , non è detto che . Infatti possono esserci isomorfismi non interni di che sono isomorfismi interni di e che non mandano in sé. Per esempio, nel gruppo alterno ci sono tre sottogruppi di ordine 2, e ognuno di essi è normale nell'unico sottogruppo (abeliano) di ordine 4, che è a sua volta normale in . Ma i tre sottogruppi di ordine due sono permutati ciclicamente dall'automorfismo interno indotto da ogni elemento di di ordine 3, e dunque nessuno di essi è normale in . Se però si aggiunge l'ipotesi che sia caratteristico, in , cioè mandato in sé da ogni automorfismo di , si ha che effettivamente .
Esempi In un gruppo abeliano, ogni sottogruppo è normale. Il nucleo di un omomorfismo h: G → H è un sottogruppo normale di G. I sottogruppi {e} e G (il più piccolo ed il più grande fra i sottogruppi di G) sono sempre normali. Se sono gli unici sottogruppi normali, il gruppo si dice semplice. Il gruppo delle traslazioni dello spazio euclideo è un sottogruppo normale del gruppo dei movimenti rigidi dello spazio. Ad esempio, in tre dimensioni: se si ruota, poi si trasla, e infine si ruota nell'altro verso, si ottiene una traslazione (che può essere diversa da quella iniziale). L'intersezione di una famiglia di sottogruppi normali è normale. L'immagine inversa tramite omomorfismo di un sottogruppo normale è normale. Invece l'immagine di un sottogruppo normale tramite un omomorfismo non è necessariamente normale. Prodotto di gruppi normali in un prodotto di gruppi è normale. Ogni sottogruppo di indice 2 è normale. Più in generale, se l'indice del sottogruppo del gruppo finito è il più piccolo numero primo che divide l'ordine di , allora è un sottogruppo normale di .
Bibliografia
Ralph Grimaldi, Discrete and Combinatorial Mathematics, ISBN 0-201-19912-2. Gunther Schmidt, 2010. Relational Mathematics. Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-76268-7.
Voci correlate Ideale (matematica) Sottogruppo Teoria dei gruppi
Collegamenti esterni
Categoria:Teoria dei gruppi