Nella logica e nella filosofia analitica, una proposizione atomica è un tipo di proposizione dichiarativa che è vera o falsa e che non può essere scomposta in altre proposizioni più semplici. Ad esempio, "Il cane corse" è una frase atomica nel linguaggio naturale, mentre "Il cane corse e il gatto si nascose" è una frase molecolare nel linguaggio naturale.

Dal punto di vista dell'analisi logica, la verità o falsità degli enunciati in generale è determinata solo da due cose: la forma logica dell'enunciato e la verità o falsità degli enunciati semplici. Ad esempio, la verità della frase "Giovanni è greco e Giovanni è felice" è funzione del significato del connettivo logico "e" e dei valori di verità delle frasi atomiche "Giovanni è greco" e "Giovanni è felice". Tuttavia, la verità o la falsità di una proposizione atomica non è una questione che rientra nell'ambito della logica stessa, ma piuttosto di qualunque arte o scienza descritta dal contenuto della proposizione atomica.Willard Van Orman Quine, The Philosophy of Logic, 1970.

La logica ha sviluppato linguaggi artificiali, ad esempio il calcolo proposizionale e il calcolo dei predicati, in parte allo scopo di rivelare la logica sottostante alle affermazioni del linguaggio naturale resa implicita dalla loro struttura grammaticale. In questi linguaggi artificiali una frase atomica è una stringa di simboli che può rappresentare una frase elementare in un linguaggio naturale, e può essere definita come segue: in un linguaggio formale, una formula ben formata (o wff, in inglese: well formed formula) è una stringa di simboli costituita secondo le regole di sintassi del linguaggio.

Un termine è una variabile, una costante individuale o una lettera di funzione non interpretata n-aria seguita da n termini. Una formula atomica è un wff costituito da un enunciato o da una predicato n-ario seguito da n termini. Una proposizione è un wff in cui tutte le variabili sono vincolate. Una proposizione atomica è una formula atomica che non contiene variabili. Ne consegue che una proposizione atomica non contiene connettivi logici, variabili o quantificatori. Una frase composta (detta anche molecolare) è costituita da una o più frasi atomiche unite da un connettivo logico.

Esempi Assunzioni Negli esempi seguenti, siano: F, G, H i predicati; a, b, c costanti individuali; x, y, z variabili.

Frasi atomiche Le seguenti wff sono frasi atomiche poiché non contengono variabili o congiunzioni libere, bensì solo predicati e costanti: F(a) G(a, b) H(a, b, c)

Formule atomiche Le seguenti wff sono formule atomiche, ma non sono frasi (atomiche o di altro tipo) perché includono variabili libere: F(x) G(a, z) H(x, y, z)

Frasi composte Le seguenti wff sono frasi composte. Sono frasi, ma non sono frasi atomiche perché non sono formule atomiche, dato l'uso di connettivi logici e di quantificatori: ∀x (F(x)) ∃z (G(a, z)) ∃x ∀y ∃z (H(x, y, z)) ∀x ∃z (F(x) ∧ G(a, z)) ∃x ∀y ∃z (G(a, z) ∨ H(x, y, z))

Formule composte Le seguenti wff sono formule composte. Non sono formule atomiche, ma sono costruite a partire da formule atomiche mediante i connettivi logici. Inoltre, non sono frasi perché contengono variabili libere: F(x) ∧ G(a, z) G(a, z) ∨ H(x, y, z)

Interpretazioni

Una frase è vera o falsa in base a un'interpretazione che assegna valori alle variabili logiche. Ad esempio, si assumano i seguenti valori:

Costanti individuali R: Socrate b: Platone c: Aristotele

Predicati Fα: α sta dormendo Gαβ: α odia β

Variabili proposizionali p: Sta piovendo.

Secondo questa interpretazione le frasi discusse sopra rappresenterebbero le seguenti affermazioni in italiano: p: "Piove". F ( a ): "Socrate dorme". ∀ x ( F ( x )): "Tutti dormono". ∃ z ( G ( a , z )): "Socrate odia qualcuno". ∀ x ∃ z ( F ( x ) ∧ G ( a , z )): "Tutti dormono e Socrate odia qualcuno".

Tradurre frasi da una lingua naturale a una lingua artificiale Le frasi nelle lingue naturali possono essere ambigue, mentre i linguaggi della logica proposizionale e della logica predicativa sono precisi. La traduzione può rivelare tali ambiguità ed esprimere con precisione il significato sotteso.

Ad esempio, prendi la frase inglese "Padre Ted ha sposato Jack e Jill". Questo significa che Jack ha sposato Jill? Nel tradurre potremmo fare le seguenti assunzioni: costanti individuali a : Padre Ted b : Jack c : Jill

predicati M αβγ: α ha officiato al matrimonio di β con γ

Usando queste assunzioni la frase sopra potrebbe essere tradotta come segue: M ( a , b , c ): Padre Ted ha officiato il matrimonio di Jack e Jill. ∃ x ∃ y ( M ( a , b , x ) ∧ M ( a , c , y )): padre Ted ha officiato il matrimonio di Jack con qualcuno e padre Ted ha officiato il matrimonio di Jill con qualcuno. ∃ x ∃ y ( M ( x , a , b ) ∧ M ( y , a , c )): qualcuno ha officiato il matrimonio di padre Ted con Jack e qualcuno ha officiato il matrimonio di padre Ted con Jill.

Per stabilire quale sia la traduzione corretta di “Padre Ted sposò Jack e Jill”, bisognerebbe chiedere al relatore cosa intendesse esattamente.

Significato filosofico

Gli enunciati atomici sono di particolare interesse nella logica filosofica e nella teoria della verità dove corrispondono a fatti atomici.

Una proposizione atomica (o forse il significato di una proposizione atomica) è chiamata proposizione elementare da Ludwig Wittgenstein e proposizione atomica da Bertrand Russell: 4.2 Il senso di una proposizione è il suo accordo e disaccordo con la possibilità di esistenza e di non-esistenza di stati di cose. 4.21 Il tipo più semplice di proposizione, una proposizione elementare, afferma l'esistenza di uno stato di cose. — Wittgenstein, Tractatus Logico-Philosophicus. Una proposizione (vera o falsa) che asserisce un fatto atomico è chiamata proposizione atomica. — Russell, "Introduzione al Tractatus Logico-Philosophicus".

Nessuna frase atomica può essere dedotta da (non è implicata da) nessun'altra frase atomica, non esistono due enunciati atomici incompatibili e nessun insieme di enunciati atomici è contraddittorio. Wittgenstein discusse a fondo di questi aspetti nel suo Tractatus. Se ci sono enunciati atomici, allora ci devono essere "fatti atomici" che corrispondono a quelli che sono veri, e la congiunzione di tutti gli enunciati atomici veri dovrebbe affermare tutto ciò che era il caso, cioè "il mondo" poiché, secondo Wittegenstein, "Il mondo è tutto ciò che è il caso" (TLP:1). Allo stesso modo, l'insieme di tutti gli insiemi degli enunciati atomici corrisponde all'insieme di tutti i mondi possibili (tutto ciò che potrebbe essere il caso).

Il T-schema, che incarna la teoria della verità proposta da Alfred Tarski, definisce la verità degli enunciati arbitrari a partire dalla verità degli enunciati atomici.

Note

Bibliografia Benson Mates, Elementary Logic, Oxford University Press, 1972. Elliot Mendelson, Introduction to Mathematical Logic, Van Nostran Reinholds Company, 1964.

Voci correlate Costante logica

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