Una teoria dei campi conforme (spesso abbreviata in CFT dall'inglese conformal field theory) è una teoria quantistica dei campi che è invariante rispetto alle trasformazioni conformi. In due dimensioni esiste un'algebra infinitamente dimensionale delle trasformazioni conformi locali e le teorie di campo conforme possono talvolta essere esattamente risolte o classificate.
La teoria dei campi conforme ha importanti applicazioni nella fisica della materia condensata, nella meccanica statistica, nella meccanica statistica quantistica e in teoria delle stringhe. I sistemi statistici e di materia condensata sono infatti spesso conformi invarianti nei loro punti critici termodinamici o quantistici.
Invarianza di scala e invarianza conforme Nella teoria quantistica dei campi, l'invarianza di scala è una simmetria comune e naturale, perché qualsiasi punto fisso del gruppo di rinormalizzazione è per definizione invariante di scala. La simmetria conforme è più stringente dell'invarianza di scala e sono necessarie ulteriori ipotesi per sostenere che dovrebbe apparire in natura. L'idea alla base della sua plausibilità è che le correnti delle teorie invarianti di scala locali sono date da dove è un vettore di Killing e è il tensore energia-impulso che è un operatore conservato di dimensione esattamente . Affinché le simmetrie associate comprendano trasformazioni di scala ma non quelle conformi, la traccia deve essere una derivata totale diversa da zero il che implica che esiste esattamente un operatore non conservato di dimensione .
Sotto alcune ipotesi è possibile escludere completamente questo tipo di non-rinormalizzazione e quindi dimostrare che l'invarianza di scala implica l'invarianza conforme in una teoria quantistica di campo, per esempio in teorie di campo conformi compatte unitarie in due dimensioni.
Sebbene sia possibile trovare una teoria quantistica dei campi che goda dell'invarianza di scala ma non di quella conforme, gli esempi sono rari.Un esempio fisico è la teoria dell'elasticità in due e tre dimensioni, anche conosciuta come la teoria dei campi vettoriali senza invarianza di gauge. Per questo motivo, nel contesto della teoria quantistica dei campi i termini sono spesso usati in modo intercambiabile.
Due dimensioni e dimensioni superiori Il numero di trasformazioni conformi indipendenti è infinito in due dimensioni e finito in dimensioni superiori. Ciò rende la simmetria conforme molto più vincolante in due dimensioni. Tutte le teorie del campo conforme condividono le idee e le tecniche del bootstrap conforme. Tuttavia le equazioni risultanti sono più potenti in due dimensioni, dove a volte sono esattamente risolvibili (per esempio nel caso di modelli minimi), che in dimensioni superiori, dove dominano gli approcci numerici.
Lo sviluppo della teoria del campo conforme è stato anticipato e approfondito nel caso bidimensionale, in particolare dopo l'articolo del 1983 di Belavin, Polyakov e Zamolodchikov. Il termine teoria del campo conforme è stato talvolta usato con il significato di teoria del campo conforme bidimensionale, come nel titolo di un libro di testo del 1997.P. Di Francesco, P. Mathieu, and D. Sénéchal, Conformal Field Theory, 1997, Le teorie del campo conforme a dimensioni più elevate sono diventate più popolari con la corrispondenza AdS/CFT alla fine degli anni '90 e lo sviluppo di tecniche di bootstrap conformi numeriche negli anni 2000.
Simmetria conforme globale vs locale in due dimensioni Il gruppo conforme globale della sfera di Riemann è il gruppo delle trasformazioni di Möbius , che è a dimensione finita. D'altra parte, le trasformazioni conformi infinitesimali formano l'algebra di Witt infinito-dimensionale: le equazioni conformi di Killing in due dimensioni, , si riducono alle sole equazioni di Cauchy-Riemann, , gli infiniti modi delle trasformazioni arbitrarie di coordinate analitiche producono gli infiniti campi vettoriali di Killing . Strettamente parlando, è possibile che una teoria conforme bidimensionale sia locale (nel senso che possiede un tensore degli sforzi) pur esibendo invarianza solo sotto il gruppo globale . Ciò risulta valere esclusivamente per le teorie non unitarie: un esempio è lo scalare biarmonico. Questa proprietà dovrebbe essere vista come ancora più speciale dell'invarianza di scala senza quella conforme siccome richiede che sia una derivata seconda totale.
La simmetria conforme globale in due dimensioni è un caso speciale di simmetria conforme in dimensioni superiori, ed è studiata con le stesse tecniche. Questo viene fatto non solo nelle teorie che hanno una simmetria conforme globale e non locale, ma anche nelle teorie che hanno una simmetria conforme locale, allo scopo di testare tecniche o idee provienienti da CFT di dimensioni superiori. In particolare, le tecniche di bootstrap numeriche possono essere testate applicandole a modelli minimi e confrontando i risultati con i risultati analitici noti che derivano dalla simmetria conforme locale.
Teorie di campo conformi con un'algebra di Virasoro In una teoria conforme bidimensionale quantistica, l'algebra di Witt delle trasformazioni conformi infinitesimali deve essere estesa centralmente. L'algebra della simmetria quantistica è quindi l'algebra di Virasoro, che dipende da un numero chiamato carica centrale. Questa estensione centrale può essere intesa anche nei termini di un'anomalia conforme.
Aleksandr Zamolodčikov dimostrò che esiste una funzione che diminuisce monotonicamente sotto il flusso del gruppo di rinormalizzazione di una teoria quantistica di campo bidimensionale, ed è uguale alla carica centrale per una teoria di campo conforme bidimensionale. Questo è noto come il teorema C di Zamolodčikov e afferma che il flusso del gruppo di rinormalizzazione in due dimensioni è irreversibile.
Oltre ad essere estesa centralmente, l'algebra di simmetria di una teoria quantistica conforme invariante deve essere complessificata, producendo così due copie dell'algebra di Virasoro. Nella CFT euclidea, queste copie sono chiamate olomorfe e antiolomorfe. Nella CFT lorentziana, sono chiamati left-moving e right-moving. Entrambe le copie hanno la stessa carica centrale.
Lo spazio degli stati di una teoria è una rappresentazione del prodotto delle due algebre di Virasoro. Questo spazio è uno spazio di Hilbert se la teoria è unitaria. Questo spazio può contenere uno stato di vuoto o, in meccanica statistica, uno stato termico. A meno che la carica centrale non sia nulla, non può esistere uno stato che lasci intatta l'intera simmetria conforme con dimensione infinita. Lo stato più invariante è uno che rimane invariato rispetto ai generatori dell'algebra di Virasoro, la cui base è . Questo contiene i generatori delle trasformazioni conformi globali. Il resto del gruppo conforme si rompe spontaneamente.
Simmetria conforme Definizione e jacobiano Dati uno spaziotempo e una metrica, una trasformazione conforme è una trasformazione che preserva gli angoli. Questa voce si concentra sulle trasformazioni conformi dello spazio euclideo piatto -dimensionale o dello spazio di Minkowski .
Data la trasformazione conforme , la matrice jacobiana è scritta come
dove è un fattore di scala, e è una matrice ortogonale (cioè una rotazione) o una trasformazione di Lorentz.
Gruppo conforme Il gruppo conforme è localmente isomorfo a o , rispettivamente nel caso euclideo e di Minkowski. Ciò comprende traslazioni, rotazioni (nel caso euclideo) o trasformazioni di Lorentz (nel caso di Minkowski) e dilatazioni, ovvero trasformazioni di scala
Ciò comprende anche trasformazioni conformi speciali, che sono definite per ogni traslazione , dalla seguente formula
dove è l'inversione tale che
Nella sfera , l'inversione scambia con Le traslazioni lasciano fissato, mentre le trasformazioni conformi speciali lasciano fisso.
Algebra conforme L'algebra conforme è un'algebra di Lie con le seguenti relazioni di commutazione:
dove genera le traslazioni, genera le dilatazioni, genera le trasformazioni conformi speciali e genera rotazioni o trasformazioni di Lorentz a seconda della metrica .
Problemi globali nello spazio di Minkowski Nello spazio di Minkowski, il gruppo conforme non conserva la causalità. Osservabili come le funzioni di correlazione sono invarianti nell'algebra conforme, ma non nel gruppo conforme. Come mostrato da Lüscher e Mack, è possibile ripristinare l'invarianza sotto il gruppo conforme estendendo lo spazio piatto di Minkowski in un cilindro lorentziano. Lo spazio di Minkowski originale è conforme ad una regione del cilindro chiamata patch di Poincaré. Nel cilindro, le trasformazioni conformi globali non violano la causalità: possono invece spostare punti al di fuori della patch di Poincaré.
Funzioni di correlazione e bootstrap conforme Nell'approccio bootstrap conforme, una teoria di campo conforme è un insieme di funzioni di correlazione che obbediscono a un numero di assiomi.
La funzione di correlazione a punti è una funzione delle posizioni e altri parametri dei campi . Nell'approccio bootstrap, i campi stessi hanno senso solo nel contesto delle funzioni di correlazione e possono essere visti come notazioni efficienti per scrivere assiomi per funzioni di correlazione. Le funzioni di correlazione dipendono linearmente dai campi, in particolare .
Ci concentriamo su CFT sullo spazio euclideo . In questo caso, le funzioni di correlazione sono funzioni di Schwinger. Sono definiti per e non dipendono dall'ordine dei campi. Nello spazio di Minkowski, le funzioni di correlazione sono funzioni di Wightman. Possono dipendere dall'ordine dei campi, poiché i campi commutano solo se sono separati come uno spazio. Una CFT euclidea può essere messa in relazione con una CFT di Minkowski per rotazione di Wick, ad esempio grazie al teorema di Osterwalder-Schrader . In tali casi, le funzioni di correlazione Minkowskiane sono ottenute dalle funzioni di correlazione euclidea mediante una continuazione analitica che dipende dall'ordine dei campi.
Comportamento sotto trasformazioni conformi Qualsiasi trasformazione conforme agisce linearmente sui campi , tale che è una rappresentazione del gruppo conforme e le funzioni di correlazione sono invarianti:
I campi primari sono campi che si trasformano in se stessi tramite . Il comportamento di un campo primario è caratterizzato da un numero chiamato dimensione conforme, e una rappresentazione della rotazione o gruppo di Lorentz. Per un campo primario, si ha allora
Qui e sono il fattore di scala e la rotazione associati alla trasformazione conforme . La rappresentazione è banale nel caso di campi scalari, che trasformano come . Per i campi vettoriali, la rappresentazione è la rappresentazione fondamentale, e avremmo .
Un campo primario che si caratterizza per la dimensione conforme e rappresentanza si comporta come un vettore di peso massimo in una rappresentazione indotta del gruppo conforme dal sottogruppo generato da dilatazioni e rotazioni. In particolare, la dimensione conforme caratterizza una rappresentazione del sottogruppo delle dilatazioni. In due dimensioni, il fatto che questa rappresentazione indotta sia un modulo Verma appare in tutta la letteratura. Per CFT di dimensioni superiori (in cui la sottoalgebra massimamente compatta è più grande della sottoalgebra di Cartan), è stato recentemente apprezzato che questa rappresentazione è un modulo di Verma parabolico o generalizzato.