In meccanica quantistica, lequazione di Schrödinger è un'equazione fondamentale che determina l'evoluzione temporale dello stato di un sistema, ad esempio di una particella, di un atomo o di una molecola.

Formulata da Erwin Schrödinger nel gennaio 1926 e subito pubblicata,"Derivazione" dell'equazione di Schrödinger per sistemi tempo indipendenti ed autovalori degli atomi idrogenoidi: Nuova derivazione dell'equazione di Schrödinger, oscillatore armonico quantistico, rotore rigido e molecole biatomiche: Teoria delle perturbazioni, applicazione all'effetto Stark: L'equazione d'onda per sistemi non conservativi, teoria delle perturbazioni per sistemi dipendenti dal tempo, significato fisico della funzione d'onda: è un'equazione differenziale alle derivate parziali, lineare, complessa e non relativistica che ha come incognita la funzione d'onda , introdotta basandosi sull'ipotesi di de Broglie dellonda di materia. Secondo l'interpretazione di Copenaghen, il modulo quadro della funzione d'onda è legato alla probabilità di trovare una particella in una determinata regione spaziale.

L'equazione di Schrödinger, fondante quella che verrà chiamata dall'autore meccanica ondulatoria, ha avuto un ruolo determinante nella storia della meccanica quantistica, ad esempio permettendo di comprendere perché soltanto alcuni valori discreti di energia sono ammessi per l'elettrone nell'atomo di idrogeno.

Storia e sviluppo Agli inizi del Novecento Max Planck, per risolvere il problema del corpo nero, sollevato da John Rayleigh, gettò le basi della futura meccanica quantistica invalidando uno dei principi cardine della fisica classica, secondo il quale un dato sistema può assumere valori di energia che variano con continuità. Planck, al contrario, ipotizzò che l'energia della radiazione elettromagnetica non potesse assumere valori arbitrari, ma soltanto determinati valori discreti, multipli di una quantità elementare detta quanto, proporzionale alla frequenza propria di vibrazione dell'oscillatore. Applicando tale concetto, egli risolse il problema proponendo che gli oscillatori che generano la radiazione elettromagnetica potessero oscillare solo con un’energia data dalla relazione:

dove è una costante detta costante di Planck, indica la frequenza della radiazione considerata e è un numero intero positivo.

Fu Einstein a dare significato fisico all'ipotesi di Planck, teorizzando che la radiazione elettromagnetica sia formata da pacchetti indivisibili di energia , nel 1926 chiamati fotoni. Nel 1922 Arthur Compton scoprì che un quanto di radiazione che urta un elettrone si comporta come una particella dotata di quantità di moto, pur avendo massa zero.

Nel 1924 Louis de Broglie ebbe un'intuizione: se la luce può comportarsi sia come onda che come corpuscolo, allora una particella, come ad esempio l’elettrone, potrebbe comportarsi anche come un'onda. Tale assunzione è nota come ipotesi di de Broglie. Riprendendo concetti tratti dalla teoria della relatività ristretta, de Broglie ricavò, così, la relazione:

dove è la quantità di moto della particella considerata e prende il nome di lunghezza d'onda di de Broglie.

Su tale base de Broglie riuscì a ricavare la quantizzazione del momento angolare nel modello atomico di Bohr, fino a quel momento introdotta ad hoc, e a dimostrare che le orbite atomiche erano effettivamente ellittiche-circolari, in linea con le previsioni di Bohr-Sommerfeld per l'atomo di idrogeno. A conferma della sua brillante idea, dal 1926 si susseguirono diversi esperimenti che confermarono l'ipotesi del dualismo onda-particella. Il più importante fu l'esperimento di Davisson e Germer del 1927 nel quale i due scienziati americani osservarono la diffrazione degli elettroni attraverso una serie di fenditure, da cui si ebbe la conferma che le particelle hanno la facoltà di comportarsi come onde.

Sulla scia di tali risultati Schrödinger andò alla ricerca di un'equazione che descrivesse il propagarsi della onda di materia di de Broglie. Rifacendosi alla fisica classica, dove il comportamento di un'onda e le sue caratteristiche sono espresse da una funzione continua, lo scienziato austriaco ottenne un'equazione differenziale le cui soluzioni, le funzioni d'onda, restituivano quei numeri quantici cruciali per la risoluzione della struttura atomica di un elemento. L'equazione di Schrödinger è inoltre in grado di descrivere l'evoluzione di una particella libera, rappresentando l'analogo della seconda legge di Newton in meccanica classica, utilizzata per ricavare una predizione sulla traiettoria che un dato sistema seguirà date certe condizioni iniziali; va sottolineato tuttavia che in ambito quantistico il concetto classico di traiettoria perde significato. Sebbene questa teoria, chiamata dall'autore meccanica ondulatoria, possa sembrare un'interpretazione diversa dalla meccanica matriciale di Heisenberg, Born e Jordan, Schrödinger dimostrò che i due procedimenti matematici sono equivalenti.

Equazione

L'equazione di Schrödinger dipende dalle interazioni fra le varie componenti del sistema. Nel caso più generale l'equazione è scritta come:

dove: è l'unità immaginaria; è un punto nello spazio tridimensionale; è la funzione d'onda, cioè l'ampiezza di probabilità per differenti configurazioni del sistema; è la costante di Dirac, o costante di Planck ridotta: ; è l'operatore hamiltoniano, che ha la proprietà di essere hermitiano.

Il valore medio dell'operatore hamiltoniano sullo stato rappresenta il valore atteso dell'energia:Ogni operatore che rappresenta una grandezza fisica in meccanica quantistica ha valor medio sullo stato calcolabile mediante:

Poiché gli operatori posizione e impulso sono operatori hermitiani, l'equazione per sistemi scleronomi si può scrivere nel limite non relativistico:

dove intervengono gli operatori impulso e energia potenziale .

L'ipotesi di de Broglie

I risultati ottenuti con l'ipotesi di de Broglie portarono allo sviluppo della meccanica quantistica intesa come meccanica ondulatoria. Con de Broglie, si associa a ogni particella un pacchetto d'onda del tipo:

che si propaga con velocità di gruppo:

dove è la frequenza angolare o pulsazione intesa come quella centrale del pacchetto d'onde, è il vettore d'onda che identifica la direzione di propagazione del pacchetto, è l'energia associata alla particella e il suo impulso lineare.

Una volta associato il pacchetto d'onda alla particella, era necessario scoprire quale equazione fosse in grado di descrivere l'evoluzione del pacchetto d'onda compatibilmente alla meccanica quantistica e interpretarne le soluzioni. In tal senso applicando l'operatore di d'Alembert al pacchetto d'onde si ottiene:

tenendo presente la relazione relativistica dell'energia :

L'equazione scritta sopra è l'equazione di Klein-Gordon in cui appare un termine a secondo membro che è un termine di sorgente della particella con lunghezza d'onda di Compton. Per particelle con massa nulla come i fotoni, l'equazione di Klein-Gordon è una normale equazione di d'Alembert che descrive la propagazione di un'onda elettromagnetica. Formalmente, tale equazione è ottenibile mediante le sostituzioni:

Limite non relativistico

L'equazione di Schrödinger nel limite non relativistico si può dedurre dall'equazione di Klein-Gordon. Considerando per l'energia la serie di Taylor al primo ordine:

e definendo la frequenza angolare non relativistica ottenuta da:

si ottiene che usando l'espressione dell'energia non relativistica l'equazione di Klein-Gordon diventa l'equazione di Schrödinger:

Equazione di bilancio e di continuità

Dall'equazione di Schrödinger:

deriva un'equazione di bilancio. Per dimostrarlo si può prendere il complesso coniugato ad ambo i membri:

dove si è supposto che il potenziale è reale. Moltiplicando l'equazione di Schrödinger per

e per la sua coniugata

e sottraendo membro a membro si ottiene a sinistra dell'uguaglianza

e a destra invece

dato che il termine proporzionale al potenziale si cancella. Ma chiamando la grandezza scalare

e il vettore

dall'uguaglianza del membro di destra e di sinistra si deduce l'equazione di continuità:

Interpretazione della funzione d'onda Si poneva a questo punto il problema del significato da attribuire alla funzione d'onda e più specificamente alla quantità . Inizialmente si pensò d'interpretarla nel modo più "intuitivo", cioè come la densità di materia contenuta nel volume infinitesimo . L'equazione di continuità avrebbe rappresentato così la conservazione della massa. Ma questa interpretazione risultò scorretta. Stessa sorte ebbe il tentativo di interpretazione come densità di carica. Successivamente Max Born mise in correlazione il concetto di funzione d'onda con la probabilità di rinvenire la particella in un punto qualsiasi dello spazio basandosi sull'analogia con la teoria ondulatoria della luce, per la quale il quadrato dell'ampiezza dell'onda luminosa in una regione rappresenta la sua intensità.

Si può esaminare il seguente esempio.

Dall'esperimento della doppia fenditura si evince che gli elettroni, anche se presi singolarmente, interferiscono con entrambe le fenditure come onde, per le quali si sommano le ampiezze. Nel caso di due onde sull'asse x:

Mutuando dall'espressione della intensità luminosa nel principio di sovrapposizione in ottica ondulatoria (), esprimiamo la probabilità associata alle due onde nell'attraversare una o l'altra fenditura come:

,

che è espressione evidentemente diversa da quella che sarebbe la classica composizione della probabilità nei due stati fondamentali in cui le due fenditure siano aperte separatamente: ( + ).

Vi è infatti, per lo sviluppo del quadrato di un binomio, la comparsa dei due termini a destra, chiamati termini di interferenza, i quali determinano una gamma di valori, compreso lo zero, che giustificano le frange di distribuzione elettronica osservate sperimentalmente. Al concetto di interferenza ondulatoria viene quindi sostituito quello di "interferenza di probabilità".

Da tali considerazioni nacque l'interpretazione della funzione d'onda come ampiezza di probabilità e del suo modulo quadro come densità di probabilità. Ne deriva che l'equazione di continuità viene a esprimere la conservazione della probabilità.

Soluzioni dell'equazione di Schrödinger Proprietà delle soluzioni

La classe di funzioni accettabili come soluzioni dell'equazione di Schrödinger è data dalle funzioni complesse definite su quadrato sommabili. Infatti deve essere:

cioè l'integrale deve convergere a un numero finito. Questa costante viene normalizzata, , per compatibilità con il significato probabilistico della funzione d'onda: l'integrale esteso a tutto lo spazio del modulo quadro della funzione d'onda rappresenta la certezza, uguale a , che la particella si trovi in un punto qualsiasi dello spazio stesso. Quindi le funzioni accettabili come soluzione sono le funzioni che appartengono a uno spazio lineare complesso chiamato spazio di Hilbert.

Dato che l'equazione di Schrödinger è lineare, date due possibili soluzioni e , allora anche la funzione d'onda somma è a sua volta una soluzione dell'equazione. Questa linearità, espressa nel principio di sovrapposizione, ha numerose importanti conseguenze sulla dinamica e sulle proprietà dei corpi microscopici che obbediscono alle leggi della meccanica quantistica. Supponendo infatti di avere un sistema che ammetta una proprietà con due possibili valori, come ad esempio lo spin lungo una direzione, allora una possibile soluzione dell'equazione di Schrödinger prevede che il sistema possa essere in una combinazione lineare di due funzioni d'onda, una in cui ad esempio lo spin è up, l'altro in cui lo spin è down. In un certo senso, è come se una particella fosse in contemporanea in diversi stati e non in uno soltanto come viene invece sempre osservata. Questo problema fu affrontato da Schrödinger nel celebre paradosso del gatto.

Soluzioni per una particella libera