Ramo. Un ramo di una rete è un gruppo di elementi collegati in serie tra due nodi. Una caratteristica essenziale di un ramo è che in tutti gli elementi del ramo fluisce la stessa corrente.Elemento. Un componente in una rete, un singolo resistore (R) , induttore (L) o condensatore (C).A n elementi. Una rete che contiene un totale di n elementi di tutti i tipi.A n tipi di elementi. Una rete che contiene n tipi diversi di elementi. Per esempio, una rete costituita soltanto da elementi LC è una rete a 2 tipi di elementi.Trasformatore ideale. I trasformatori ideali compaiono frequentemente nell'analisi delle reti. Si tratta di un concetto puramente teorico; essi trasformano perfettamente le tensioni e le correnti secondo un rapporto dato, senza perdite. I trasformatori reali sono altamente efficienti e spesso possono essere utilizzati al posto di un trasformatore ideale. Una differenza essenziale è che i trasformatori ideali continuano a funzionare quando ricevono energia con corrente continua, cosa che nessun trasformatore reale potrebbe mai fare.A n maglie. Una maglia è un percorso chiuso in una rete in cui esistono connessioni per consentire alla corrente di passare da un elemento all'altro, formando un cammino ininterrotto che alla fine torna al punto di partenza. Una maglia essenziale è un percorso chiuso tale da non contenere alcun altro percorso chiuso. Una rete a n maglie è una rete che contiene n maglie essenziali.Nodo. Un nodo di una rete è un punto in un circuito dove è connesso un terminale di ciascuno di tre o più elementi.Porta. Una coppia di terminali di una rete in cui fluiscono correnti uguali e opposte.Razionale in questo contesto significa una rete composta da un numero finito di elementi. Gli elementi a parametri distribuiti, come in una linea di trasmissione, sono perciò esclusi perché la natura infinitesimale degli elementi fa sì che il loro numero vada ad infinito.Terminale. Un punto in una rete a cui possono essere collegate tensioni esterne alla rete e in cui possono fluire correnti esterne. Una rete a 2 terminali o bipolo è anche una rete a una porta. Reti a 3 terminali e a 4 terminali sono spesso, ma non sempre, connesse anche come reti a 2 porte.
Unimpedenza equivalente è un circuito equivalente ad una rete elettrica, costituita da elementi rappresentati come impedenze, il quale presenta la stessa impedenza tra tutte le coppie di terminali che presentava la rete data. Questo articolo descrive le trasformazioni matematiche tra alcune reti lineari passive di impedenze che si trovano comunemente nei circuiti elettronici.
Esistono numerosi circuiti equivalenti molto noti e utilizzati spesso nell'analisi delle reti lineari. Questi includono resistori in serie, resistori in parallelo e l'estensione (mediante il metodo simbolico) ai circuiti in serie e in parallelo per condensatori, induttori e impedenze generiche. Sono ben noti anche i circuiti del generatore equivalente di corrente di Norton e del generatore equivalente di tensione di Thévenin, così come le trasformazioni stella-triangolo. Nessuno di questi è discusso in dettaglio qui; consultare i singoli articoli linkati.
Il numero di circuiti equivalenti in cui può essere trasformata una rete lineare è illimitato. Si può vedere che ciò è vero anche nei casi più banali, per esempio chiedendosi quante diverse combinazioni di resistori in parallelo siano equivalenti a una data resistenza complessiva. Il numero di combinazioni in serie e in parallelo che possono essere formate cresce esponenzialmente con il numero di resistori, n. Per grandi valori di n è stato trovato con tecniche di calcolo numerico la dimensione di questo insieme di combinazioni è pari approssimativamente a 2,53n e, analiticamente, i limiti rigorosi sono ottenuti mediante una sequenza di Farey di numeri di Fibonacci.Khan, p.154 Questo articolo non ha la pretesa di essere completo e sono possibili alcune generalizzazioni. Wilhelm Cauer trovò una trasformazione in grado di generare tutti i possibili equivalenti di una qualsiasi impedenza data a una porta, lineare, passiva, razionale, o, in altre parole, di una qualsiasi impedenza data a due terminali. Anche le trasformazioni delle reti a 4 terminali, come le reti due porte, si trovano comunemente e sono possibili trasformazioni di reti ancora più complesse.
La vasta portata del tema dei circuiti equivalenti viene sottolineata in una storia raccontata da Sidney Darlington. Secondo Darlington, un gran numero di circuiti equivalenti fu trovato da Ronald M. Foster, seguendo l'articolo suo e di George Campbell del 1920 sulle reti non dissipative a quattro porte. Nel corso di questo lavoro essi esaminarono i modi in cui quattro porte potrebbero essere interconnesse con trasformatori ideali e il massimo trasferimento di potenza. Trovarono numerose combinazioni che potevano avere applicazioni pratiche e chiesero al dipartimento brevetti dell'AT&T che venissero brevettate. Il dipartimento brevetti rispose che era inutile brevettare solo alcuni circuiti se un concorrente poteva utilizzare un circuito equivalente per aggirare il brevetto; quindi essi avrebbero dovuto brevettarli tutti o non interpellarli. Foster perciò si mise al lavoro per calcolarli tutti, fino all'ultimo. Egli giunse a un totale enorme di 83.539 equivalenti (577.722 se sono inclusi rapporti in uscita diversi). Questi erano troppi per brevettarli, quindi le informazioni furono rilasciate come informazioni di pubblico dominio al fine di impedire a qualsiasi concorrente di AT&T di brevettarle in futuro.Darlington, p.6.Foster and Campbell, p.233
Reti a 2 tipi di elementi, a 2 terminali Un'impedenza singola possiede due terminali con cui può essere connessa al mondo esterno, perciò può essere descritta come una rete a 2 terminali, o a una porta. Nonostante la semplice descrizione, non c'è limite al numero di maglie, e quindi alla complessità e al numero di elementi, che la rete di impedenze può avere. Nella progettazione dei circuiti sono comuni le reti a 2 tipi di elementi; i filtri, per esempio, sono spesso reti di tipo LC e i progettisti di circuiti stampati preferiscono le reti di tipo RC poiché gli induttori sono meno facili da produrre. Le trasformazioni sono più semplici e facili da trovare rispetto alle reti a 3 tipi di elementi. Le reti a un tipo di elementi possono essere pensate come un caso speciale di reti a 2 tipi di elementi. È possibile usare le trasformazioni in questa sezione su alcune reti a 3 tipi di elementi sostituendo una rete di elementi con un elemento Zn. Tuttavia, questo è limitato a un massimo di due impedenze che vengono sostituite; il resto non sarà una libera scelta. Le equazioni di tutte le trasformazioni presentate in questa sezione sono dovute a Otto Zobel.Zobel, 1923.
Reti a 3 elementi Le reti a un elemento sono banali e le reti a due elementi con due terminali, essendo costituite da due elementi in serie o due elementi in parallelo, sono anch'esse banali. Il numero non banale minimo di elementi è tre e ci sono due possibili trasformazioni non banali a 2 tipi di elementi, con ciascuna che è sia la trasformazione inversa che la trasformazione duale topologica dell'altra.Zobel, p.45. DescrizioneReteEquazioni di trasformazioneRete trasformataTrasformazione 1.1La trasformazione 1.2 è l'inversa di questa trasformazione. Trasformazione 1.2La trasformazione inversa e duale topologica, della trasformazione 1.1. Esempio 1.Un esempio di trasformazione 1.2. Le dimensioni ridotte dell'induttore hanno vantaggi pratici.
Reti a 4 elementi Ci sono quattro trasformazioni non banali a 4 elementi per le reti a 2 tipi di elementi. Due di queste sono le trasformazioni inverse delle altre due e due sono le trasformazioni duali di due trasformazioni diverse. Ulteriori trasformazioni sono possibili nel caso particolare in cui Z2 sia costituita dallo stesso tipo di elementi di Z1, cioè quando la rete è ridotta a una rete a un tipo di elementi. Il numero di reti possibili continua a crescere con l'aumentare del numero di elementi. Ciò è definito per tutte le voci nella tabella seguente:Zobel, pp.45-46. , , , , . DescrizioneReteEquazioni di trasformazioneRete trasformataTrasformazione 2.1La trasformazione 2.2 è l'inversa di questa trasformazione. La trasformazione 2.3 è la duale topologica di questa trasformazione. Trasformazione 2.2La trasformazione 2.1 è l'inversa di questa trasformazione. La trasformazione 2.4 è la duale topologica di questa trasformazione. Trasformazione 2.3La trasformazione 2.4 è l'inversa di questa trasformazione. La trasformazione 2.1 è la duale topologica di questa trasformazione. Trasformazione 2.4La trasformazione 2.3 è l'inversa di questa trasformazione. La trasformazione 2.2 è la duale topologica di questa trasformazione. Esempio 2.Un esempio di trasformazione 2.2.
Reti a 3 tipi di elementi, a n elementi, a 2 terminali
Le reti semplici con pochi elementi possono essere trattate formulando le equazioni di rete "a mano" applicando semplici teoremi come le leggi di Kirchhoff. Si dimostra l'equivalenza tra due reti confrontando direttamente i due insiemi di equazioni ed uguagliando i coefficienti. Per reti di grandi dimensioni sono necessarie tecniche più potenti. Un approccio comune è iniziare esprimendo la rete di impedenze come una matrice. Questo approccio è valido solo per le reti razionali. Qualunque rete che includa elementi distribuiti, come una linea di trasmissione, non può essere rappresentata mediante una matrice finita. Generalmente, una rete a n maglie richiede una matrice nxn per essere rappresentata. Per esempio la matrice per una rete a 3 maglie si può presentare come
I coefficienti della matrice sono scelti in modo tale che la matrice formi un sistema di equazioni lineari nelle tensioni e nelle correnti di maglia (così come definite per il metodo delle maglie):
Per esempio, il diagramma in Figura 1 può essere rappresentato come una matrice di impedenze da:
e il sistema di equazioni lineari associato è:
Nel caso più generale, ogni ramo Zp della rete può essere composto da tre elementi in modo che
dove L, R e C rappresentano, rispettivamente, induttanza, resistenza e capacità ed s l'operatore di frequenza complessa .
Questo è il modo convenzionale di rappresentare una generica impedenza ma per lo scopo di questo articolo è matematicamente più conveniente ragionare con l'elastanza elettrica, D, che corrisponde al reciproco della capacità, C. In questi termini l'impedenza del generico ramo può essere rappresentata da:
Allo stesso modo, ciascun coefficiente della matrice delle impedenze può essere rappresentato come somma di tre elementi. Di conseguenza, la matrice può essere scomposta in tre matrici nxn, una per ciascuno dei tre tipi di elementi:
Si desidera che la matrice [Z] rappresenti un'impedenza, Z(s). A tal scopo, il percorso chiuso corrispondente a una delle maglie viene tagliato e si considera l'impedenza Z(s) misurata tra i punti corrispondenti al taglio. Convenzionalmente si assume che la porta di connessione esterna sia nella maglia 1 e sia, perciò, connessa attraverso il coefficiente Z11 della matrice, anche se sarebbe perfettamente possibile formulare ciò con connessioni a qualsiasi nodo desiderato. Nella seguente discussione, si assume Z(s) come preso mediante il coefficiente Z11. Z(s) può essere calcolato da [Z] nel modo seguente:E. Cauer et al., p.4.
dove z11 è il minore complementare rispetto a Z11 e |Z| è il determinante di [Z].
Per la rete di esempio vista sopra, e Si verifica facilmente che questo risultato è corretto con il metodo più diretto dei resistori in serie e parallelo. Tuttavia, tali metodi diventano rapidamente tediosi e dalla gran mole di calcoli con la crescita delle dimensioni e della complessità della rete in analisi.