In matematica, uno spazio contraibile è uno spazio topologico su cui la funzione identità è omotopicamente nulla, cioè è omotopa a qualche funzione costante. Intuitivamente, uno spazio contraibile è uno spazio che può essere ridotto con continuità a un punto dello spazio stesso.
Proprietà Uno spazio contraibile è uno spazio che ha lo stesso tipo di omotopia di un punto. Ne consegue che tutti i gruppi di omotopia di uno spazio contraibile sono banali. Pertanto, qualsiasi spazio con un gruppo di omotopia non banale non può essere contraibile. Allo stesso modo, poiché l'omologia singolare è un invariante di omotopia, i gruppi di omologia ridotta di uno spazio contraibile sono tutti banali.
Per uno spazio topologico le seguenti affermazioni sono equivalenti:
è contraibile (cioè la funzione identità è omotopicamente nulla); è omotopicamente equivalente a uno spazio di un punto; è un retratto per deformazione di un punto (tuttavia esistono spazi contraibili che non sono retratti per deformazione forti di un punto); per ogni spazio connesso per archi, due qualsiasi funzioni sono omotope; per ogni spazio qualsiasi funzione è omotopicamente nulla.
Il cono su uno spazio è sempre contraibile. Pertanto qualsiasi spazio può essere immerso in uno spazio contraibile (il che mostra anche che i sottospazi degli spazi contraibili non sono necessariamente contraibili).
Inoltre, è contraibile se e solo se esiste una retrazione dal cono di a
Ogni spazio contraibile è connesso per cammini e semplicemente connesso. Inoltre, poiché tutti i gruppi di omotopia superiori sono nulli, ogni spazio contraibile è n-connesso per ogni
Spazi localmente contraibili Uno spazio topologico è localmente contraibile se ogni punto ha una base locale di intorni contraibili. Gli spazi contraibili non sono necessariamente localmente contraibili né è vero il viceversa. Ad esempio lo spazio pettine è contraibile ma non localmente contraibile (se lo fosse, sarebbe localmente connesso, cosa che non è). Gli spazi localmente contraibili sono localmente -connessi per ogni In particolare sono localmente semplicemente connessi, localmente connessi per cammini e localmente connessi.
Esempi e controesempi
Qualsiasi spazio euclideo è contraibile, così come qualsiasi insieme stellato in uno spazio euclideo. La varietà di Whitehead è contraibile. Le sfere di qualsiasi dimensione finita non sono contraibili. La sfera unitaria in uno spazio di Hilbert di dimensione infinita è contraibile. La casa con due stanze è un esempio standard di spazio contraibile. Il cono sull'orecchino hawaiano è contraibile (poiché è un cono), ma non è localmente contraibile né localmente semplicemente connesso. Tutte le varietà differenziabili e i CW-complessi sono localmente contraibili, ma non contraibili in generale. La circonferenza di Varsavia si ottiene "chiudendo" la curva sinusoidale del topologo mediante un arco che collega e È uno spazio unidimensionale i cui gruppi di omotopia sono tutti banali ma non è contraibile.
Note
Collegamenti esterni
Categoria:Topologia