In algebra astratta, l'endomorfismo di Frobenius è uno speciale omomorfismo di anelli, definito solo per anelli con caratteristica positiva. Prende il nome da Ferdinand Georg Frobenius. La sua definizione si basa su un teorema che afferma che:
Se è un anello commutativo con caratteristica , con numero primo, allora , per ogni e appartenenti ad .
cioè che l'applicazione
preserva l'operazione di somma. Dopotutto, essa soddisfa anche le proprietà e , dunque si caratterizza come un endomorfismo di in sé ed è pertanto detta endomorfismo di Frobenius.
Dimostrazione del teorema Per il teorema binomiale vale che
Ma se , il coefficiente contiene il fattore e dunque in caratteristica è uguale a 0. Pertanto rimangono solo i termini finali dell'espansione, cioè e .
Esempi
Sia un anello con caratteristica 2: e Essendo un anello con caratteristica 2, per le proprietà dell'aritmetica modulare si ha:
Sia un anello con caratteristica 3: e Essendo un anello con caratteristica 3, per le proprietà dell'aritmetica modulare si ha:
Collegamenti esterni
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