In matematica, l'equazione di Eulero o equazione di Eulero-Cauchy è un'equazione differenziale ordinaria omogenea a coefficienti variabili della forma:
La sostituzione mostra che la ricerca di soluzioni per questo tipo di equazioni differenziali si può ridurre alla risoluzione di un'equazione differenziale lineare a coefficienti costanti. Da questa osservazione segue che le soluzioni delle equazioni omogenee di Eulero si possono scrivere come combinazioni lineari di funzioni della forma:
ove è un numero complesso e è un intero non negativo.
Nella sua forma più generale (non omogenea):
è stata studiata da Eulero a partire dal 1740.
Equazione del secondo ordine L'equazione di Eulero più comune è quella di secondo grado:
dove e sono numeri reali. Viene utilizzata in svariati contesti, ad esempio nello studio dell'equazione di Laplace.
Assumendo che l'equazione ammetta una soluzione banale del tipo:
differenziando si ha:
Sostituendo nell'equazione di partenza:
e riordinando i termini:
Si può ora risolvere in funzione di , ottenendo tre casi di particolare interesse:
Caso 1: si hanno due radici distinte e . Caso 2: si ha una radice reale multipla. Caso 3: si hanno due radici complesse
Nel primo caso la soluzione è:
Nel secondo è:
Per ottenere questa soluzione si deve applicare il metodo di riduzione dell'ordine dopo aver trovato una soluzione .
Nel terzo caso la soluzione è:
con:
Per e nel piano reale. Questa forma si ottiene ponendo ed utilizzando la formula di Eulero.
Bibliografia
Valiron, G. The Geometric Theory of Ordinary Differential Equations and Algebraic Functions. Brookline, MA: Math. Sci. Press, 1950. Zwillinger, D. Handbook of Differential Equations, 3rd ed. Boston, MA: Academic Press, p. 120, 1997.
Voci correlate Equazione differenziale ordinaria Equazione differenziale lineare di ordine superiore al primo
Collegamenti esterni
Categoria:Equazioni differenziali ordinarie