In matematica, una differenza divisa è una quantità, definita in modo ricorsivo su punti distinti. Vengono utilizzate ad esempio nell'interpolazione polinomiale, nei metodi di interpolazione di Newton alle differenze divise e interpolazione di Hermite.
Definizione Dati punti
Definiamo le differenze divise come:
Definiamo le differenze divise all'indietro come:
dove è l'ordine della differenza divisa.
Notazione, differenze divise sui punti di una funzione Se i punti vengono dati come valori di una funzione :
si può trovare la notazione
Altre scritture equivalenti sono:
Rapporto con le derivate di f(x) Quando due argomenti risultano coincidenti possiamo ugualmente dare un significato alla corrispondente differenza divisa di ordine , purché esista in quel punto:
Più in generale, definiamo
la cui esistenza è dimostrabile.
Esempi Differenze divise per e i primi valori di :
Per evidenziare il processo ricorsivo, le differenze divise possono essere messe in forma tabellare
Rapporto incrementale
Data una funzione , presi due punti , la differenza divisa di ordine :
è il rapporto incrementale costruito su due punti per la quantità .
Invarianza per permutazione
Per induzione matematica, non è difficile dimostrare che
Questa espressione ci permette di affermare che è una funzione invariante a permutazione dei suoi argomenti, cioè
dove denota una qualsiasi permutazione di .
Note
Bibliografia
Voci correlate
Interpolazione polinomiale Interpolazione di Hermite
Categoria:Analisi numerica