Le dimostrazioni del famoso risultato matematico che il numero razionale è maggiore di π (pi greco) risalgono fino all'antichità. Una di queste dimostrazioni, recentemente sviluppata e che richiede solo conoscenze elementari dell'analisi, ha attirato l'attenzione dei matematici moderni per la sua eleganza matematica e la sua connessione alla teoria delle approssimazioni diofantee. Stephen Lucas definì questa dimostrazione «uno dei più bei risultati sull'approssimazione di ». Julian Havil concluse una discussione sulle approssimazioni della frazione continua di con questa disuguaglianza, affermando che fosse «impossibile resistere dal menzionarla» in quel contesto.

Lo scopo principale della dimostrazione non è quello di convincere i lettore che è effettivamente maggiore di ; esistono infatti dei metodi sistematici per calcolare il valore di . Se si sa che è approssimativamente , allora segue banalmente che , il quale è circa . Tuttavia è più semplice dimostrare che utilizzando il metodo di questa dimostrazione invece di mostrare che è approssimativamente .

Storia è una approssimazione diofantea di largamente usata. È un troncamento dello sviluppo in frazione continua semplice di , ed è maggiore di quest'ultimo, come si può chiaramente notare dagli sviluppi decimali dei due valori:

L'approssimazione è nota fin dall'antichità. Archimede scrisse nel III secolo a.C. la prima dimostrazione conosciuta che è una sovrastima, sebbene probabilmente non fosse il primo a utilizzare tale approssimazione. La sua dimostrazione procede mostrando che è maggiore del rapporto tra il perimetro di un poligono regolare circoscritto di 96 lati e il diametro del cerchio. Un'altra approssimazione razionale di e ancora più accurata è 355/113.

Dimostrazione La dimostrazione può essere espressa succintamente come:

perciò, .

Il calcolo di questo integrale fu il primo problema nella Putnam Competition del 1968.

Dettagli sul calcolo dell'integrale Che l'integrale è positivo segue dal fatto che l'integrando è non negativo, essendo un rapporto fra somme e prodotti di potenze di numeri reali non negativi. Inoltre, si può verificare che è strettamente positivo in almeno un punto dell'intervallo di integrazione, ad esempio . Poiché l'integrando è continuo in tale punto e non è negativo altrove, l'integrale da a deve essere strettamente positivo.

Rimane da dimostrare che il valore dell'integrale è la quantità desiderata:

Semplici stime superiori e inferiori In Dalzell (1944), si osserva che sostituendo al posto di nel denominatore, si ottiene un limite inferiore dell'integrale, e invece sostituendo una sua stima superiore:.

Quindi si ottiene

perciò in espansione decimale . Le stime differiscono da meno del 0.015%. Vedere anche Dalzell (1971)..

Dimostrazione che 355/113 è maggiore di π Come discusso in Lucas (2005), la ben conosciuta e migliore approssimazione diofantea 355/113 per segue in modo analogo dalla seguente relazione

Si noti che

dove le prime sei cifre decimali coincidono con quelle di . Sostituendo nella al denominatore, si ottiene il limite inferiore

mentre sostituendo se ne ottiene il doppio come stima superiore, quindi

In espansione decimale, questo significa che 3,141 592 57 < < 3,141 592 74, dove le cifre in grassetto sono le stesse di .

Estensioni Si possono generalizzare le idee precedenti per ottenere approssimazioni sempre migliori di ; vedere anche Backhouse (1995) e Lucas (2005) (in entrambi i riferimenti, tuttavia, non compaiono i calcoli). Per i calcoli espliciti, si consideri, per ogni intero ,

dove l'integrale centrale vale

in cui compare . L'ultima somma appare anche nella formula di Leibniz per π. La stima dell'errore è dato da

dove l'approssimazione (la indica che sono asintoticamente equivalenti per ) del coefficiente binomiale centrale segue dall'approssimazione di Stirling e mostra la convergenza rapida dell'integrale a .

I risultati per sono stati dati precedentemente. Per si ottiene

e

quindi 3,141 592 31 < < 3,141 592 89, dove le cifre in grassetto sono quelle di . In modo simile, per

e stima dell'errore

perciò 3,141 592 653 40 < < 3,141 592 653 87. Proseguendo con ,

con

da cui si ricava 3,141 592 653 589 55 < < 3,141 592 653 589 96.

Note

Voci correlate Calcolo di π Teorema di Lindemann-Weierstrass (dimostrazione che è trascendente) Dimostrazione della irrazionalità di π

Collegamenti esterni The problems of the 1968 Putnam competition, con questa dimostrazione indicata come quesito A1 The Life of Pi di Jonathan Borwein; vedere pagina 5 per l'integrale.

Categoria:Dimostrazioni matematiche