Nell'analisi matematica, il teorema di inversione di Lagrange, anche conosciuto come la formula di Lagrange–Bürmann, fornisce l'espansione in serie di Taylor dell'inversa di una funzione analitica.

Enunciato

Sia definita come una funzione di tramite un'equazione nella forma

dove è analitica nel punto e inoltre . Allora è possibile invertire o risolvere l'equazione per nella forma di una serie in termini di , ovvero

dove

Il teorema afferma inoltre che la serie ha un raggio di convergenza non nullo, ossia che rappresenta una funzione analitica di (che si potrebbe indicare con in un intorno di . Questo procedimento è anche chiamato reversione delle serie.

Se l'ipotesi di analiticità della funzione non è verificata, la formula è ancora valida per serie formali di potenze e può essere generalizzata in numerosi modi. Può essere formulata per funzioni di più variabili, può essere estesa per fornire una formula pronta per per qualunque funzione analitica , e infine generalizzata al caso , dove l'inversa è una funzione polidroma.

Il teorema fu dimostrato da Lagrange (Note: Although Lagrange submitted this article in 1768, it was not published until 1770.) e generalizzato da Hans Heinrich Bürmann,Bürmann, Hans Heinrich, "Essai de calcul fonctionnaire aux constantes ad-libitum," submitted in 1796 to the Institut National de France. For a summary of this article, see: Bürmann, Hans Heinrich, "Formules du développement, de retour et d'integration," submitted to the Institut National de France. Bürmann's manuscript survives in the archives of the École Nationale des Ponts et Chaussées [National School of Bridges and Roads] in Paris. (See ms. 1715.)A report on Bürmann's theorem by Joseph-Louis Lagrange and Adrien-Marie Legendre appears in: "Rapport sur deux mémoires d'analyse du professeur Burmann," Mémoires de l'Institut National des Sciences et Arts: Sciences Mathématiques et Physiques, vol. 2, pages 13–17 (1799)., entrambi nel tardo XVIII secolo. C'è una chiara derivazione usando l'analisi complessa e l'integrazione sui contorni;E. T. Whittaker and G. N. Watson. A Course of Modern Analysis. Cambridge University Press; 4th edition (January 2, 1927), pp. 129–130 la versione delle serie formali di potenze complesse è una conseguenza della conoscenza della formula per i polinomi, perciò la teoria delle funzioni analitiche può essere applicata.

Se è una serie formale di potenze, allora la formula sopra non dà i coefficienti dell'inversa moltiplicativa direttamente in termini dei coefficienti di . Se è possibile esprimere le funzioni e in serie formali di potenze come

con e , allora una forma esplicita dei coefficienti inversi può essere data in termini dei polinomi di Bell:Eqn (11.43), p. 437, C.A. Charalambides, Enumerative Combinatorics, Chapman & Hall / CRC, 2002

dove      e     essendo il fattoriale crescente.

Quando , l'ultima formula può essere interpretata in termini delle facce dell'associaedroAguiar, Marcelo; Ardila, Federico (2017). "Hopf monoids and generalized permutahedra". arXiv: 1709.07504

con per ogni faccia dell'associaedro .

Esempio Per esempio, l'equazione algebrica di grado nella forma

può essere risolta in mediante la formula di inversione di Lagrange applicata alla funzione , portando alla soluzione in serie formale

Dai test di convergenza, questa serie è infatti convergente per , che è anche il più grande disco in cui un'inversa locale di può essere definita.

Applicazioni

Formula di Lagrange–Bürmann

Esiste un caso speciale del teorema di inversione di Lagrange che è usato in combinatoria e applicato quando per qualche funzione analitica con . Prendendo si ottiene e inoltre

che alternativamente può essere scritta come

dove è un operatore che estrae i coefficienti di nella serie di Taylor di una funzione di .

Una generalizzazione utile della formula è conosciuta come formula di Lagrange–Bürmann:

dove è un'arbitraria funzione analitica.

A volte, la derivata può essere piuttosto complicata, così una versione più semplice della formula sostituisce con per ottenere

che coinvolge invece di .

Funzione W di Lambert

La funzione W di Lambert è una funzione che è implicitamente definita dall'equazione

È possibile usare il teorema per calcolare i coefficienti della serie di taylor di in . Prendendo , e riconoscendo che

si ottiene

Il raggio di convergenza di questa serie è (questo esempio si riferisce al ramo principale della funzione di Lambert).

Una serie che converge per maggiori (sebbene non per tutti) può essere derivata dall'inversione della serie di un'altra funzione. La funzione soddisfa l'equazione

Allora si può espandere in serie di potenze e invertirla. Questo da una serie per :

si calcola sostituendo al posto di nella serie di sopra. Per esempio, sostituendo e quindi si ha il valore di .

Alberi binari Si consideri l'insieme degli alberi binari non etichettati. Un elemento di è o una foglia di grandezza nulla, oppure una radice con due sottoalberi. denota il numero di alberi binari con nodi.

Si noti che rimuovere la radice divide l'albero binario in due alberi di grandezza più piccola. Questo fornisce l'equazione funzionale della funzione generatrice :

Ponendo , si ha così . Ora applicando il teorema di inversione alla funzione ,

Si conclude così che è un numero di Catalan.

Approssimazione asintotica di integrali Nel teorema di Laplace-Erdelyi che fornisce l'approssimazione asintotica per integrali del tipo di Laplace, l'inversione della funzione è un passo cruciale del procedimento.

Note

Voci correlate Serie di Taylor Funzione W di Lambert Serie formale di potenze

Collegamenti esterni

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