In matematica, un gruppoide è una struttura algebrica usata per generalizzare gruppi e azioni di gruppo.

Il concetto di gruppoide è stato introdotto da Heinrich Brandt nel 1927; spesso quindi tale entità viene chiamata gruppoide di Brandt.

Successivamente, inspirandosi alla teoria classica dei gruppi di Lie, in geometria differenziale è stata sviluppata una nozione di gruppoide dotato di una struttura differenziale compatibile, detto gruppoide di Lie.

Definizione In senso algebrico, un gruppoide è definito come un insieme munito di una funzione parziale e di una funzione totale −1 che soddisfano le seguenti condizioni per ogni e in : è associativa, cioè se esistono sia che , allora e sono definite e coincidono; e sono sempre definite; Se è definita, allora e (non è necessario specificare che sono definite, in quanto ciò segue banalmente dalle prime due condizioni).

In senso categoriale, un gruppoide è definito come una categoria piccola in cui tutti i morfismi sono invertibili. Denotando e , rispettivamente, gli insiemi dei morfismi e degli oggetti, un gruppoide possiede le seguenti mappe di struttura:

Una mappa sorgente , che associa ad ogni morfismo il suo oggetto sorgente Una mappa bersaglio , che associa ad ogni morfismo il suo oggetto bersaglio Una moltiplicazione parziale , che associa a due morfismi compatibili e la loro composizione Una mappa unità , che associa ad ogni oggetto il morfismo identità Una mappa inversione , che associa ad ogni morfismo il suo inverso

Un gruppoide viene spesso schematicamente rappresentato da (le due frecce indicano le mappe sorgente e bersaglio).

Esempi e prime proprietà Dato un gruppoide , si definisce orbita attraverso l'insieme degli elementi di che si collegano ad tramite un morfismo di . Le orbite di un gruppoide formano una partizione di ; un gruppoide è detto transitivo se ammette una sola orbita, cioè se ogni due punti di possono essere da morfismi.

L'insieme dei morfismi che hanno sorgente e bersaglio uguale a è detto gruppo di isotropia in , e possiede una naturale struttura di gruppo. Se due oggetti e sono nella stessa orbita, i gruppi di isotropia e sono isomorfi. In particolare, tutti i gruppi di isotropia di un gruppoide transitivo sono isomorfi fra loro.

I concetti di morfismo di gruppoidi e di sottogruppoide sono definiti come i loro analoghi in teoria dei gruppi.

Ecco alcuni semplici esempi di gruppoidi:

Ogni gruppo è un gruppoide con un solo oggetto. Dato un insieme , il gruppoide unità è il gruppoide con e moltiplicazione triviale. Dato un insieme , il gruppoide coppia è il gruppoide con sorgente , bersaglio e moltiplicazione Data un'azione (per esempio sinistra) di un gruppo su un insieme il gruppoide di azione è definito sorgente , bersaglio e moltiplicazione

Gruppoidi con strutture geometriche Un gruppoide topologico è un gruppoide in cui e sono spazi topologici, le mappe di struttura sono continue, e le mappe sorgente e bersaglio sono aperte. Questa nozione è la diretta generalizzazione di un gruppo topologico.

Analogamente, un gruppoide di Lie è un gruppoide topologico in cui e sono varietà differenziabili, le mappe di struttura sono lisce, e le mappe sorgente e bersaglio sono summersioni. Questa nozione è la diretta generalizzazione di un gruppo di Lie. Come per i gruppi di Lie, è possibile studiare un gruppoide di Lie attraverso la sua controparte infinitesima, il suo algebroide di Lie, che generalizza il concetto di algebra di Lie.

Un gruppoide di Lie può essere dotato di ulteriori strutture geometriche: è sufficiente equipaggiare la varietà con una struttura geometrica, e imporre un'appropriata condizione algebrica di compatibilità con la moltiplicazione. Questi tipi di gruppoidi sono strumenti fondamentali in geometria simplettica e geometria di Poisson e in teoria delle foliazioni.

Note

Collegamenti esterni

Categoria:Teoria dei gruppi Categoria:Strutture algebriche