I suoi migliori ranking ATP sono stati la 10ª posizione in singolare nel gennaio 2026 e la 47ª in doppio nel novembre 2021. Nel circuito maggiore ha vinto nove titoli in singolare su diciassette finali disputate, tra cui il 500 di Halle nel 2023 e 2025. Il suo miglior risultato nei tornei del Grande Slam sono i quarti di finale raggiunti al Roland Garros nel 2025. In doppio vanta la finale raggiunta al Roland Garros 2021 in coppia con Andrej Golubev, persa contro Pierre-Hugues Herbert e Nicolas Mahut.
Biografia Inizia a giocare a tennis all'età di 2 anni grazie al padre, che lo seguirà come coach anche nella carriera professionistica. Appassionato di scacchi, nel 2023 ha giocato con la squadra dei Levitov Chess Wizards nella Professional Rapid Online Chess League.
Cambio di nazionalità Nel novembre 2016 Bublik ha adottato la nazionalità sportiva del Kazakistan. All'origine della decisione vi sarebbe stato il disinteresse e lo scarso supporto da parte della federazione russa. Al contrario, il tennista ha definito fantastico il centro tennis di Astana e ha dichiarato che la sua scelta è da considerarsi definitiva.
Carriera Juniores Nell'ITF Junior Circuit Bublik ha raggiunto la 19ª posizione mondiale e ha conquistato sei titoli in singolare e cinque in doppio. Non ha mai superato il terzo turno nei tornei juniores del Grande Slam, il miglior risultato negli altri tornei di Grade A è stata la semifinale in doppio al Trofeo Bonfiglio del 2014.
2011-2015: inizi e primi titoli Futures in doppio Fa la sua prima isolata apparizione tra i professionisti nel 2011 in un torneo Futures in Russia e gioca un altro torneo Futures nel 2013. L'anno successivo gioca qualche torneo in più e alza i primi trofei da professionista vincendo il doppio in un Futures russo e in un Futures estone. Gioca poco anche nel 2015 e vince un altro torneo Futures di doppio, oltre a fare il suo esordio nell'ATP Challenger Tour e a disputare per la prima volta le qualificazioni in singolare in un torneo ATP al St. Petersburg Open, nelle quali viene eliminato al terzo turno.
2016: primi titoli Futures e prime vittorie ATP in singolare Inizia a giocare con maggiore regolarità nel 2016 e ad aprile vince il suo primo titolo Futures in singolare a Doha, a cui fanno seguito altri tre titoli Futures in singolare a Mosca, San Pietroburgo e in Svezia. Dopo aver raggiunto nei tornei Challenger per la prima volta i quarti di finale in singolare e una semifinale in doppio, a settembre fa il suo esordio nei tabelloni principali dell'ATP al St. Petersburg Open 2016 con una wild card, ed esce al primo turno sia in singolare che nel torneo di doppio. Raggiunge i quarti anche al Tashkent Challenger per il ritiro nel secondo set del nº 52 ATP Jiri Vesely, nella sua prima vittoria contro un top 100.
Supera per la prima volta le qualificazioni in un torneo ATP alla Kremlin Cup e ottiene la prima vittoria nel circuito maggiore superando il nº 79 ATP Konstantin Kravčuk, consegue poi la sua vittoria più significativa da inizio carriera sconfiggendo in due set il nº 13 del mondo Roberto Bautista Agut e nei quarti viene eliminato in tre set dal vincitore del torneo Pablo Carreño Busta. Guadagna 56 posti nel ranking e sale al 210º. Poco dopo annuncia il cambio di nazionalità e di avere scelto di rappresentare il Kazakistan. Chiude la stagione in 205ª posizione.
2017: due titoli Challenger e ingresso nella top 100 Supera le qualificazioni agli Australian Open 2017 e, al suo esordio in una prova del Grande Slam sconfigge il nº 16 del mondo Lucas Pouille per poi essere eliminato al secondo turno. A febbraio vince il suo primo titolo Challenger al Morelos Open, sconfiggendo Nicolas Jarry in finale. Eliminato nelle qualificazioni al Roland Garros, entra nel tabellone a Wimbledon come "lucky loser" e viene sconfitto al primo turno dal numero 1 del mondo Andy Murray. Continua l'ascesa nel ranking vincendo ad agosto l'Aptos Challenger e a settembre, dopo le semifinali disputate all'Istanbul Challenger, entra per la prima volta nella top 100, alla 95ª posizione. Raggiunge nuovamente i quarti alla Kremlin Cup con il successo sul nº 23 del mondo Albert Ramos Viñolas.
2018-2019: crollo nel ranking e risalita fino alla top 50 La stagione 2018 vede Bublik in difficoltà, vince un solo incontro nei tornei ATP e non ritrova la forma per gran parte dell'anno neanche nei tornei Challenger. Ad agosto esce dalla top 200, risale iniziando a ottenere alcuni discreti risultati nei Challenger e scende di nuovo con l'uscita al primo turno della Kremlin Cup. Dopo essere crollato al 253º posto del ranking, torna a mettersi in luce nel suo ultimo torneo dell'anno vincendo il titolo Challenger a Bratislava partendo dalle qualificazioni.
Dopo i deludenti risultati nei primi tornei del 2019, a febbraio esordisce nella squadra kazaka di Coppa Davis superando Joao Sousa nella sfida vinta 3-1 contro il Portogallo. Si aggiudica quindi il torneo di singolare al successivo Hungarian Challenger Open e meno di un mese dopo vince anche il Challenger di Pau. Disputa il suo primo torneo Masters 1000 al Miami Open superando le qualificazioni, nel tabellone principale sconfigge Tennys Sandgren al terzo set ed esce di scena al secondo turno. Il buon momento continua con un altro titolo Challenger conquistato a Monterrey, successo che lo riporta nella top 100 del ranking.
Al Roland Garros 2019 vince il suo primo incontro nel tabellone principale contro Rudolf Molleker prima di perdere una combattuta sfida in quattro set contro il futuro finalista Dominic Thiem. Nel torneo di Newport disputa la sua prima finale ATP e viene sconfitto dalla testa di serie numero uno John Isner. Agli US Open vince due match consecutivi al quinto set e raggiunge il suo primo terzo turno in uno Slam. Si spinge fino alla finale anche all'ATP 250 del Chengdu Open eliminando tra gli altri i top 30 Taylor Fritz e Grigor Dimitrov prima di perdere al tiebreak del terzo set contro Pablo Carreño Busta. Risultato che permette di raggiungere a novembre il suo nuovo best ranking alla 48ª posizione mondiale.
2020: semifinale agli Australian Open e top 100 in doppio, prima vittoria contro un top 10 in singolare All'Australian Open 2020 raggiunge in doppio la sua prima semifinale in un torneo del Grande Slam, e in coppia con Mikhail Kukushkin viene sconfitto da Rajeev Ram / Joe Salisbury. A fine torneo entra per la prima volta nella top 100 di doppio. Torna a mettersi in luce in singolare arrivando in semifinale a Marsiglia, elimina tra gli altri la testa di serie nº 4 Denis Shapovalov e viene sconfitto da Stefanos Tsitsipas, risultati con cui sale al 47º posto mondiale.
Dopo la lunga pausa dovuta al COVID-19 esce al primo turno nei primi tornei disputati, torna al successo ad Amburgo, dove entra in tabellone come lucky loser, raggiunge i quarti di finale senza perdere alcun set contro Albert Ramos Viñolas e Félix Auger-Aliassime, e viene sconfitto da Cristian Garín. Agli Open di Francia supera al primo turno il nº 9 del mondo Gaël Monfils – primo top 10 sconfitto in carriera – e viene eliminato al turno successivo da Lorenzo Sonego. Si spinge quindi fino alla semifinale di doppio al St. Petersburg Open in coppia con Reilly Opelka.
2021: due finali ATP e 34º al mondo in singolare, finale in doppio al Roland Garros Inizia la stagione all'Antalya Open e riprende a salire nel ranking raggiungendo la sua terza finale in un torneo ATP, nei quarti ha la meglio sul nº 10 del mondo Matteo Berrettini e nel match che assegna il titolo è costretto al ritiro in finale quando era in svantaggio per 0-2 nel primo set contro Alex de Minaur. Eliminato al secondo turno agli Australian Open, disputa un'altra finale ATP al Singapore Tennis Open e viene sconfitto da Alexei Popyrin con il punteggio di 6-4, 0-6, 2-6. Dopo essersi imposto in entrambi i singolari nella sfida di Coppa Davis vinta contro i Paesi Bassi, raggiunge per la prima volta i quarti in un torneo Masters 1000 sconfiggendo Taylor Fritz al Miami Open e viene eliminato da Jannik Sinner. Giunge fino ai quarti anche al Masters di Madrid con i successi su Denis Shapovalov e Aslan Karacev e cede in due set a Casper Ruud, risultati con cui porta il miglior ranking alla 40ª posizione mondiale.
Raggiunge la prima finale in una prova del Grande Slam al torneo di doppio del Roland Garros, in coppia con Andrej Golubev elimina le teste di serie numero 5 Ivan Dodig / Filip Polášek e le numero 11 Wesley Koolhof / Jean-Julien Rojer. In semifinale hanno la meglio su Pablo Andújar / Pedro Martínez e vengono sconfitti dai giocatori di casa Nicolas Mahut / Pierre-Hugues Herbert con il punteggio di 6-4, 6-7, 4-6. A fine torneo entra per la prima volta nella top 50 di doppio, in 49ª posizione. Sconfitto nei quarti sull'erba dell'Eastbourne International, raggiunge per la prima volta il terzo turno al torneo di Wimbledon. Perde poi in semifinale a Newport contro Kevin Anderson.
Fa il suo esordio olimpico ai Giochi di Tokyo ed esce al primo turno sia in singolare che in doppio. Nonostante non superi il secondo turno nei tornei americani di fine estate sul cemento, compresi gli US Open, a settembre sale al 34º posto nel ranking di singolare. All'ultimo impegno stagionale, vince i tre incontri disputati in singolare nel round robin della fase finale di Coppa Davis, nei quarti viene sconfitto da Djokovic ed è la Serbia che si qualifica alla semifinale.
2022: primo titolo ATP e top 30 Sconfitto al secondo turno degli Australian Open 2022, a febbraio raggiunge la finale all'Open Sud de France di Montpellier con le vittorie su Tallon Griekspoor, Pierre-Hugues Herbert, sulla testa di serie nº 2 Roberto Bautista Agut e la nº 5 Filip Krajinović. Si aggiudica il primo titolo ATP sconfiggendo per 6–4, 6–3 il nº 3 del mondo Alexander Zverev e sale al 30º posto nel ranking. Sconfitto al primo turno nei tre tornei successivi, torna a mettersi in luce nella sfida di Coppa Davis vinta a Oslo contro la Norvegia superando il nº 8 del mondo Casper Ruud. All'Indian Wells Open elimina Andy Murray ed esce al terzo turno per mano di Grigor Dimitrov. Viene eliminato al terzo turno anche al Miami Open, nel quale Ruud si prende la rivincita. Non va oltre il secondo turno nei successivi tornei su terra battuta, compresi i Masters di Monte Carlo, Madrid e Roma e all'Open di Francia, nonché nei primi tornei sull'erba. Dopo i quarti disputati all'Eastbourne International, a Wimbledon perde al terzo turno contro Frances Tiafoe.
Dimostra nuovamente di trovarsi a proprio agio sull'erba di Newport, dove raggiunge per la seconda volta la finale. Elimina nei quarti di finale Andy Murray e dopo il successo su Jason Kubler cede al tie break del set decisivo contro Maxime Cressy. Non consegue altri risultati di rilievo nel prosieguo della trasferta americana. Nella fase a gironi delle finali di Coppa Davis sconfigge il nº 8 del mondo Cameron Norrie, perde gli altri due singolari e il Kazakistan chiude all'ultimo posto del Gruppo D. Raggiunge la finale al torneo di Metz e viene sconfitto in due set da Lorenzo Sonego dopo aver eliminato l'emergente Holger Rune. Supera Cristian Garín al primo turno del Firenze Open e diventa il secondo kazako a raggiungere le 100 vittorie nel circuito maggiore, per poi uscire nei quarti, così come nel successivo ATP 500 di Basilea.
2023: primo titolo ATP 500, un altro titolo ATP e top 25