In algebra lineare, la matrice compagna del polinomio monico di grado n:
è la matrice quadrata di ordine n avente sulla prima sovradiagonale e i coefficienti di , cambiati di segno, sull'ultima riga:
Alcuni autori chiamano matrice compagna la matrice trasposta della precedente, ovvero la matrice con sulla prima sottodiagonale e i coefficienti di , cambiati di segno, sull'ultima colonna:
Proprietà La matrice compagna di ha polinomio caratteristico e polinomio minimo uguali a ; i suoi autovalori sono le radici di . Per ogni radice di , il vettore è un autovettore di con autovalore . In particolare, se tutte le radici di sono distinte allora è diagonalizzabile tramite una matrice di Vandermonde. Per ogni campo la matrice esprime la moltiplicazione per sull'anello , espresso come spazio vettoriale su con la base . In particolare, se è irriducibile su e è una sua radice, esprime la moltiplicazione per sul campo . Se è una matrice su un campo , sono equivalenti gli enunciati: è simile alla matrice compagna su del proprio polinomio caratteristico; il polinomio caratteristico di è uguale al suo polinomio minimo; esiste un vettore tale che è una base di . Non tutte le matrici quadrate sono simili ad una matrice compagna, ma tutte sono simili ad una matrice diagonale a blocchi di matrici compagne; queste ultime possono essere scelte in modo che i loro polinomi si dividano successivamente, quindi che siano univocamente determinate. Questa scrittura è la forma canonica razionale di .
Bibliografia
Richard E. Bellman, Richard (1987), Introduction to Matrix Analysis, SIAM, ISBN 0898713994 .
Voci correlate Polinomio Polinomio caratteristico Polinomio minimo
Collegamenti esterni
Compagna