Una superficie di rotazione o superficie di rivoluzione in geometria solida è una superficie ottenuta ruotando una curva (detta generatrice o profilo) di 360° attorno ad una retta data (l'asse di rotazione).

La curva ottenuta intersecando un piano perpendicolare all'asse di rotazione si chiama parallelo della superficie di rotazione. La curva ottenuta intersecando un piano passante per l'asse di rotazione è detta meridiano.

Esempi Alcuni esempi di superfici di rotazione sono:

La superficie cilindrica (la sola superficie laterale del cilindro; non il cilindro ellittico, parabolico e iperbolico; non il semicilindro siccome la rotazione è di 180°). La superficie conica (la sola superficie laterale del cono; non il cono ellittico; non il semicono siccome la rotazione è di 180°). Il tronco di cono (la sola superficie laterale del tronco di cono; non il tronco di semicono siccome la rotazione è di 180°). L'anticlessidra (la sola superficie laterale dell'anticlessidra). La superficie sferica (non la semisfera siccome la rotazione è di 180°). Tutti i tipi di ellissoide di rotazione (dunque lo sferoide oblato e prolato) tranne l'ellissoide scaleno. Il paraboloide di rotazione classico o "parabola circolare" (da non confondere con il paraboloide iperbolico). Il paraboloide di Flamm (che corrisponde geometricamente al pozzo gravitazionale nella teoria generale della relatività). L'iperboloide di rotazione. La superficie torica (da non confondere con la superficie toroidale). Il catenoide (da "catenaria" in contesto tridimensionale). La pseudosfera di Beltrami o "trattricoide" (da "trattrice" in contesto tridimensionale). Il limone.

Mentre la sfera schiacciata ai poli (sferoide oblato) è una superficie di rotazione, il geoide non è una superficie di rotazione in quanto è una sfera leggermente schiacciata ai poli che in più presenta numerose irregolarità (fosse e cunette).

Le superficie elicoidali, anche se sono superfici che si formano a seguito di una rotazione detta "moto elicoidale uniforme", non sono superfici di rotazione: infatti il moto elicoidale uniforme incastra un moto rotatorio insieme a una traslazione, per cui non è solo e unicamente una rotazione. In altre parole, le superfici elicoidali sono il risultato di una roto-traslazione e non di una semplice rotazione/rivoluzione. Gli esempi sono solitamente tutti i tipi di elicoide (rigati, cerchiati e generici come la superficie di Dini in geometria iperbolica).

Rappresentazione matematica

Equazione parametrica In generale una superficie di rotazione è rappresentabile in equazioni parametriche fissando un sistema di riferimento cartesiano e rappresentando le equazioni parametriche della curva che la genera. Scegliamo (per esempio) coincidente con l'asse di rotazione, le equazioni della curva sono:

dove è un parametro reale.

Ora supponendo che la curva sopra ruoti di un angolo attorno all'asse z, otteniamo le equazioni parametriche della superficie di rotazione:

In questo caso i paralleli sono dati fissando il valore del parametro :

mentre i meridiani, fissando il parametro :

Equazione cartesiana (forma implicita) Allo stesso modo possiamo rappresentare la curva che genera la superficie pensandola come equazione cartesiana:

Prendiamo un punto fisso della curva e vediamo che se lo facciamo ruotare intorno a di un angolo otteniamo un altro punto di equazioni:

Poiché quadrando le prime due equazioni otteniamo: si vede che . Allora l'equazione cartesiana della superficie di rotazione è:

Forme differenziali di Gauss Prima forma differenziale di Gauss Facendo riferimento a quanto detto sulle superfici parametriche possiamo ricavare l'espressione della prima forma quadratica di Gauss, che rappresenta in genere l'elemento di superficie. Poiché essa è una superficie regolare possiamo ricavare i vettori tangenti alle due linee e :

Allora i coefficienti della prima forma differenziale di Gauss diventano:

La prima forma quadratica di Gauss è:

In tal caso l'elemento di superficie diventa:

e se ne può calcolare l'area:

Un caso particolare e notevole è la parametrizzazione della curva profilo mediante l'ascissa curvilinea . Con essa la velocità del profilo è costantemente 1, ossia . Perciò i coefficienti della prima forma quadratica si riducono:

dove è il nuovo parametro dell'ascissa curvilinea. La prima forma quadratica di Gauss diventa

con elemento di superficie

e area calcolabile immediatamente:

Seconda forma differenziale di Gauss Facendo riferimento alle superfici parametriche si può ricavare per ogni punto della superficie di rotazione i versori normali:

I coefficienti della seconda forma differenziale di Gauss diventano se ricaviamo le derivate parziali seconde

otteniamo

Voci correlate Superficie Superficie rigata Superficie parametrica Quartica come linea d'intersezione tra due superfici di rotazione

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Collegamenti esterni Casi d'intersezione tra Superfici di rotazione

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