Matrice

In matematica, in particolare in algebra lineare, una matrice è un insieme di numeri ordinati secondo righe e colonne.

Un esempio di matrice con 2 righe e 3 colonne è dato da:

Le matrici sono ampiamente usate in matematica e in tutte le scienze per la loro capacità di rappresentare in maniera utile e concisa diversi oggetti matematici, come valori che dipendono da due parametri o anche sistemi lineari, cosa, quest'ultima, che le rende uno strumento centrale dell'analisi matematica.

Storia

Tracce dell'utilizzo di matrici risalgono fino ai primi secoli a.C. Nel corso della storia più volte è capitato che matematici vissuti in epoche e luoghi diversi, durante lo studio di sistemi lineari, abbiano disposto i coefficienti del sistema in forma tabellare, fatto che evidenzia come le matrici siano una struttura particolarmente intuitiva e conveniente per questi scopi. Storia dell'uso delle matrici e dei determinanti su MacTutor Interessanti reperti sono anche i quadrati latini e i quadrati magici. Fu solo a partire dal XVII secolo comunque che l'idea delle matrici fu ripresa e sviluppata, prima con risultati e idee ottenuti in contesti di studio specifici, poi con la loro generalizzazione. Lo sviluppo infine è continuato fino a dare alla teoria delle matrici la forma che oggi conosciamo.

I primi a sfruttare le matrici per agevolare i propri calcoli furono i matematici cinesi, proprio nell'affrontare i sistemi lineari. Nel Jiuzhang Suanshu (Nove capitoli sulle arti matematiche), steso durante la dinastia Han, l'ottavo capitolo è interamente dedicato allo svolgimento di un problema matematico formulato sotto forma di sistema lineare. L'autore dispone ingegnosamente i coefficienti di ogni equazione parallelamente in senso verticale, in maniera quindi differente dalla notazione odierna, che li vuole disposti orizzontalmente, per righe: una semplice differenza di notazione. Il Nove capitoli sulle arti matematiche su MacTutor Ai numeri così disposti si applicava una serie di operazioni portandoli in una forma tale da rendere evidente quale fosse la soluzione del sistema: è quello che oggi conosciamo come metodo di eliminazione gaussiana, scoperto in occidente solo agli inizi del XIX secolo con gli studi del matematico tedesco Carl Friedrich Gauss. All'interno dello Jiuzhang Suanshu comparve anche il concetto di determinante, inteso come metodo per determinare se un sistema lineare ammette un'unica soluzione.

Un'idea più moderna di determinante fece la sua comparsa nel 1683, a distanza di poco tempo sia in Giappone, con Kōwa Seki (Method of solving the dissimulated problems), che in Europa, con Leibniz. Nella prima metà del XVIII secolo, Maclaurin scrisse il Treatise of Algebra (Trattato di algebra)Il testo è consultabile on-line: Treatise of Algebra., pubblicato postumo nel 1748, nella quale mostrava il calcolo dei determinanti per matrici quadrate di ordine 2 e 3. Cramer diede il suo contributo nel 1750 presentando l'algoritmo per il calcolo del determinante per matrici quadrate di ordine qualunque, usato nel metodo oggi noto come regola di Cramer (Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques). Ulteriori sviluppi sul concetto di determinante furono poi apportati da Bézout (Sur le degré des équations résultantes de l'évanouissement des inconnues, 1764), Vandermonde (Mémoire sur l'élimination, 1772) Biografia di Vandermonde su MacTutor, Laplace (1772), Lagrange (1773), Gauss (1801) che introdusse per la prima volta il termine determinante, Cauchy (1812) che usò per la prima volta il determinante nella sua concezione moderna, ottenendo anche importanti risultati sui minori e le matrici aggiunte, e Jacobi. All'inizio del XIX secolo venne usato per la prima volta in occidente il metodo di eliminazione gaussiana da parte di Gauss, per lo studio dell'orbita dell'asteroide Pallas in base alle osservazioni ottenute fra il 1803 ed il 1809. Altri concetti ed idee fondamentali della teoria delle matrici furono poi studiati, sempre in contesti specifici, da Cauchy, Sturm, Jacobi, Kronecker, Weierstrass e Eisenstein.

Nel 1848 il matematico e avvocato inglese Sylvester introdusse per la prima volta il termine matrice. Il suo collega avvocato Cayley introdusse nel 1853 l'inversa di una matrice., e nel 1858 fornì la prima definizione astratta di matrice, in Memoir on the theory of matrices (Memorie sulla teoria delle matrici)L'abstract del testo è consultabile on-line: Memoir on the theory of matrices in Proceedings of the Royal Society of London, Volume 9., mostrando come tutti gli studi precedenti non fossero altro che casi specifici del suo concetto generale. All'interno del testo Cayley forniva inoltre un'algebra delle matrici, definendo le operazioni basilari di somma, moltiplicazione tra matrici, moltiplicazione per scalari e inversa di una matrice. Ancora ignaro di tali opere, nel 1878 Frobenius pubblicò Ueber lineare Substitutionen und bilineare Formen (Sulle sostituzioni lineari e forme bilineari), nel quale riportava importanti risultati sulle matrici, quale per esempio la definizione di rango. Nel 1888 il geodeta Jordan nella terza edizione del suo Handbuch der Vermessungskunde (Manuale di geodesia) ampliò il metodo di eliminazione di Gauss in quello che oggi è noto come metodo di eliminazione di Gauss-Jordan.S. C. Althoen and R. McLaughlin, "Gauss-Jordan Reduction: A Brief History," American Mathematical Monthly, 94:130–142 (1987). Altri contributi importanti furono dati da Bôcher nel 1907 con Introduction to higher algebra; altri testi di rilievo furono scritti da Turnbull ed Aitken negli anni trenta (The Theory of Canonical Matrices e Determinants and Matrices) e da Mirsky nel 1955 (An introduction to linear algebra).

A partire dalla seconda metà del XX secolo l'avvento dei computer ha dato un'impressionante accelerazione alla diffusione delle matrici e dei metodi matriciali. Grazie ai computer infatti è stato possibile applicare in maniera efficiente metodi iterativi precedentemente ritenuti troppo onerosi, portando di conseguenza allo sviluppo di nuove tecniche per la risoluzione di importanti problemi dell'algebra lineare, quali il calcolo degli autovettori e autovalori, il calcolo dell'inversa di una matrice e la risoluzione di sistemi lineari.. Ciò a sua volta ha permesso l'introduzione delle matrici in altre discipline applicate, come per esempio la matematica economica e la probabilità, che grazie ad esse hanno potuto rappresentare concetti complessi in maniera più semplice. Altri campi relativamente più recenti, invece, come per esempio la ricerca operativa, hanno basato ampiamente la propria disciplina sull'utilizzo delle matrici.

Definizioni e notazioni Una matrice è una tabella rettangolare di numeri. Da un punto di vista formale, può essere definita come una funzione

dove e sono interi positivi fissati e è un qualunque insieme fissato, come ad esempio quello dei numeri reali. Le righe orizzontali di una matrice sono chiamate righe, mentre quelle verticali colonne. Una matrice generica è descritta come in figura sopra oppure anche nel modo seguente (che viene considerata più proficua come notazione per il fatto di non dover differenziare nelle operazioni l'elemento dalla matrice stessa):

indicando con l'elemento posizionato alla riga -esima e nella colonna -esima.

La riga -esima viene indicata con , oppure più ambiguamente , mentre colonna -esima con , oppure più ambiguamente .

Gli elementi costituiscono la diagonale principale della matrice.

I vettori possono essere considerati matrici aventi una sola riga o una sola colonna. Una matrice con una sola riga, di dimensione , è detta matrice riga o vettore riga, mentre una matrice con una sola colonna, di dimensione , è detta matrice colonna o vettore colonna.

Di seguito sono mostrati in ordine una matrice , una matrice colonna ed una matrice riga;

Come mostrato negli esempi, i valori presenti nella matrice possono essere di vario tipo: interi (matrice intera), reali o anche complessi. In molti casi si suppone che i valori siano elementi di un campo fissato.

Quando una parte o tutti i suoi ingressi sono variabili aleatorie estratte in modo casuale da una distribuzione di probabilità, prende il nome di matrice aleatoria.

Algebra delle matrici Sulle matrici si possono definire numerose operazioni che spesso dipendono anche dall'insieme in cui sono scelti i valori delle matrici. Nel resto del paragrafo supponiamo che le matrici abbiano tutte valori in uno stesso campo fissato.

Somma

Due matrici e , entrambe di tipo , possono essere sommate. La loro somma è definita come la matrice i cui elementi sono ottenuti sommando i corrispettivi elementi di e . Formalmente:

Per esempio:

Moltiplicazione per uno scalare La moltiplicazione per uno scalare è un'operazione che, data una matrice e un numero (detto scalare), costruisce una nuova matrice , il cui elemento è ottenuto moltiplicando l'elemento corrispondente di per ; gli elementi della matrice e lo scalare in questione devono appartenere allo stesso campo. Formalmente:

Per esempio:

Prodotto

La moltiplicazione tra due matrici e è un'operazione più complessa delle precedenti. A differenza della somma, non avviene moltiplicando semplicemente gli elementi aventi lo stesso posto. La definizione di moltiplicazione che segue è motivata dal fatto che una matrice modellizza un'applicazione lineare, e il prodotto di matrici corrisponde alla composizione di applicazioni lineari.

La moltiplicazione è quindi definita soltanto se le matrici e sono rispettivamente di tipo e : in altre parole, il numero di colonne di deve coincidere con il numero di righe di . Il risultato è una matrice di tipo .

Ad esempio, siano e due matrici rispettivamente e : tra queste si può effettuare la moltiplicazione ed ottenere una matrice . Le stesse matrici, però, non possono essere moltiplicate nel modo , poiché le colonne di non sono tante quante le righe di .

Il prodotto di di righe e colonne e di righe e colonne è la matrice di dimensione , il cui elemento di posizione è dato dalla somma:

Quest'ultimo viene detto prodotto riga per colonna. Ad esempio:

Si osserva che moltiplicando una matrice per una si ottiene una matrice .

Prima riga:

Seconda riga:

Da cui:

A differenza dell'usuale moltiplicazione fra numeri, questa non è un'operazione commutativa, cioè è in generale diverso da , quando si possono effettuare entrambi questi prodotti.

Un caso particolare, ampiamente usato in algebra lineare per rappresentare le trasformazioni lineari (come rotazioni e riflessioni) è il prodotto tra una matrice ed un vettore colonna , che viene chiamato anche prodotto matrice-vettore.

Proprietà Le operazioni di somma e prodotto di matrici soddisfano tutte le proprietà usuali della somma e del prodotto di numeri, ad eccezione, nel caso del prodotto di matrici, della proprietà commutativa.

Sia la matrice nulla, fatta di soli zeri (e della stessa taglia di ). Sia inoltre la matrice ottenuta moltiplicando per lo scalare . Valgono le relazioni seguenti, per ogni matrici e, per ogni numeri reali.

Proprietà della somma e del prodotto per uno scalare (la matrice nulla è l'elemento neutro della somma); (esistenza di un opposto per la somma); (proprietà associativa della somma); (proprietà commutativa della somma); (1 è l'elemento neutro del prodotto per uno scalare); (proprietà associativa del prodotto per uno scalare); (proprietà distributiva del prodotto per uno scalare rispetto alla somma).

Le prime 4 proprietà affermano che le matrici formano un gruppo abeliano rispetto all'operazione di somma. Come mostrato sopra, il prodotto non è commutativo in generale.

Proprietà del prodotto fra matrici (proprietà associativa del prodotto); (proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma).

Altre operazioni Sulle matrici sono definite numerose altre operazioni. Tra queste: trasposizione di una matrice; somma diretta; prodotto diretto (o di Kronecker);