A polinomfaktorizációs tétel az algebra egy tétele, amely a polinommaradék-tétel egy speciális esete.

A faktorizációs tétel azt állítja, hogy az polinomnak akkor és csak akkor osztója , ha (vagyis ha egy gyöke az polinomnak).

Polinomok faktorizációja

A tételt leggyakrabban polinomok faktorizációjánál és algebrai egyenletek megoldásánál alkalmazzák (mivel ezek a problémák lényegében ekvivalensek).

A tételt úgy alkalmazzák, hogy az ismert gyökökhöz tartozó gyöktényezőket „kiemelik”, így egy alacsonyabb fokú polinomot kell felbontani a többi gyök megtalálása érdekében (amely vélhetőleg könnyebb). A módszer leírható így:. „Tippelgetéssel” vagy valamilyen más módon keressük meg az polinom egy gyökét, -t. (A valóságban általában ez a feladat nagyon nehéz, de a tankönyvi példák gyakran úgy készülnek, hogy ez a lépés könnyen megoldható legyen.) A fenti tételt felhasználva állapítsuk meg, hogy osztója -nek. Számítsuk ki a polinomot például polinomosztással. Vegyük észre, hogy bármely megoldása, megoldása a egyenletnek. Mivel a polinom foka eggyel kisebb mint, -é, így a hátralévő megoldások megtalálását a kisebb fokú polinom gyökeinek megtalálására redukáltuk.

Példa Faktorizáljuk a

polinomot. Ahhoz, hogy elinduljuk kezdésnek például próbálgatással megkeressük az első olyan x értéket amire a kifejezés helyettesítési értéke 0 (vagyis gyöke a polinomnak). Például ahhoz, hogy megtudjuk, hogy a fenti polinomnak a faktora-e (vagyis hogy maradék nélküli osztója-e), -et helyettesítünk a fenti polinomba:

Mivel a helyettesítési érték 18 és nem 0 ez azt jelenti, hogy nem faktora az -nek. Legyen a következő kísérletünk az (vagyis helyettesítsünk -et a polinomba):

Mivel az eredmény most , így , vagyis , osztója a polinomnak, pedig egy gyöke a polinomnak.

A másik két gyököt megtalálhatjuk ha elosztjuk polinomosztással -gyel és az így kapott másodfokú polinom gyökeit direkt módon (a másodfokú egyenlet megoldóképletével) megkeressük.

így és osztói a polinomnak.

Általánosan Legyen egy egyváltozós polinom úgy, hogy az együtthatói egy kommutatív gyűrűből származnak és legyen . Ekkor akkor és csak akkor, ha valamely polinomra.

Ha adott egy polinom és minden gyökét meg kívánjuk találni és adott akkor kiszámítható polinomosztással, majd további gyökeit faktorizációjával kaphatjuk meg.

Fordítás

Források

Kategória:Polinomok Kategória:Matematikai tételek