Az Arthur Cayleyről és William Rowan Hamiltonról elnevezett Cayley–Hamilton-tétel a lineáris algebra, azon belül is a mátrixalgebra jelentős tétele. Azt mondja ki, hogy a komplex test feletti tetszőleges A négyzetes mátrix gyöke saját karakterisztikus polinomjának.
Ha egy adott -es mátrix és az -es egységmátrix, akkor karakterisztikus polinomja a polinom, ahol a determináns és a polinom változója. A Cayley–Hamilton egyenlet azt állítja, hogy ha ebbe az egyenletbe helyett -t írunk, akkor az eredmény a nullmátrix lesz, vagyis .
A tételt először Hamilton bizonyította 1862-ben, de csak egy speciális esetben, a kvaterniók által alkotott vektortérre.Linear Operators and the 'Cayley-Hamilton Theorem'W.R. Hamilton: On a New and General Method of Inverting a Linear and Quaternion Function of a Quaternion. Proceedings of the Royal Irish Academy, volume 8 (1864), pp. 182-183.W.R. Hamilton: On the Existence of a Symbolic and Biquadratic Equation, which is satisfied by the Symbol of Linear Operation in Quaternions. Proceedings of the Royal Irish Academy, volume 8 (1864), pp. 190-191.W.R. Hamilton: On the Existence of a Symbolic and Biquadratic Equation, which is satisfied by the Symbol of Linear or Distributive Operation on a Quaternion. Philosophical Magazine, volume 24 (4th series) (1862), pp. 127-128.
Példa Legyen
Akkor A karakterisztikus polinomja
Így
ami egybevág a tétel állításával.
Ekvivalens megfogalmazás A tétel ekvivalens azzal az állítással, hogy az A négyzetes mátrix minimálpolinomja osztója A karakterisztikus polinomjának.
Valóban, ha a A minimálpolinomja , akkor definíció szerint A kielégíti -et és így ha osztója A karakterisztikus polinomjának, akkor A kielégíti azt is.
Megfordítva, A minimálpolinomja, , osztója minden olyan polinomnak, amelynek A gyöke, így ha A gyöke a saját karakterisztikus polinomjának, akkor szükségképpen osztója -nek.
Általánosítás Noha a tétel eredeti formájában a komplex test feletti mátrixokról szól, az állítás tetszőleges kommutatív gyűrű felett is igaz.
Jegyzetek
Kategória:Lineáris algebra Kategória:Matematikai tételek