Algebra skupova neprazna je sveukupnost podskupova nekoga skupa zatvorena u odnosu na konačan broj operacija na njima.algebra skupova HE. Pristupljeno 16. ožujka 2025.
Formalno, Familija podskupova od ( jest algebra skupova (na ) ili, kraće, algebra, ako vrijede sljedeća tri svojstva: (A1) , (A2) , (A3) (zatvorenost na komplementiranje), gdje je .
Direktne posljedice ove definicije su te da je: , te . Konačno, indukcijom se dobije da iz zatvorenosti na dvočlane unije i presjeke redom slijedi zatvorenost na konačne unije i presjeke, odnosno da za iz slijedi i slično .
Primjeri »Najmanja« i »najveća« algebra (u smislu inkluzije) na jest , odnosno . Te algebre nazivamo trivijalnim. Također, za proizvoljan familija je algebra. Primjer familije koja nije algebra za, recimo, jest jer ne sadrži .
Nešto složeniji primjer algebre je . Naime, valja provjeriti tri definirajuća svojstva algebre: jer je prazan skup konačan. . Tvrdimo da je tada . Postoje četiri mogućnosti: konačni. Tada je konačan skup pa je . konačan, konačan. Tada je konačan pa je zaista . Analogno se provjere slučajevi kada je konačan i konačan, odnosno kada je konačan i konačan. Za vrijedi , što se lako provjeri.
Općeniti slučaj: -algebra Neka je i neka je . Kažemo da je -algebra skupova (kraće, -algebra) ako vrijede sljedeća tri svojstva: (F1) -algebra, (F2) Za niz u vrijedi (zatvorenost na prebrojive unije), (F3) Za vrijedi .
Treba uočiti da zatvorenost na prebrojive unije povlači zatvorenost na dvočlane unije pa je svaka -algebra ujedno i algebra, dok obrat ne vrijedi. Gore je dokazano da je algebra. Neka je za . Tada je očito (jer su svi konačni), ali . Prema tome, svaka -algebra je algebra, ali općenito nije svaka algebra -algebra. Ipak, kada je konačan, tada se prebrojiva unija svodi na konačnu pa je u tom slučaju algebra ujedno i -algebra.
Slično kao prije, »najmanja« i »najveća« -algebra (u smislu inkluzije) na jest , odnosno . Također, za proizvoljan familija je -algebra. Također, familija je -algebra.
Generirana -algebra Za proizvoljnu familiju definiramo -algebru generiranu s kao . Dakle, je presjek svih -algebri koje sadrže kao svoj podskup. Lako se dokaže da je dobro definirana te da vrijedi , za svaku -algebru koja sadrži . Dakle, je, u smislu podskupovnosti, »najmanja« -algebra na koja sadrži .
Napomene
Izvori Kategorija:Matematika