mini|Graf osnovnih hiperbolnih funkcija mini|Geometrijski prikaz hiperbolnih funkcija. Desna polovica jedinične hiperbole, apscisa i pravac kroz ishodište i točku (ch a, sh a) zatvaraju površinu ploštine a/2. Hiperbolne funkcije su funkcije u matematici koje odgovaraju trigonometrijskim funkcijama (sinus, kosinus itd.) na hiperboli. Nezavisno su ih otkrili 1760.-ih godina matematičari Vincenzo Riccati i Johann Heinrich Lambert, koji ih je koristio za računanje površine hiperbolnog trokuta. Tek su u 19. stoljeću našle širu upotrebu nakon Lobačevskijevog otkrića hiperbolne geometrije.
Dok skup svih točaka oblika (cos x, sin x) čini jediničnu kružnicu x2 + y2 = 1, skup (ch x, sh x) čini desnu stranu hiperbole x2 - y2 = 1. Hiperbolne funkcije usko su povezane s trigonometrijskim funkcijama, između ostalog zbog jednakosti (iy)2 = −y2.
Osnovne hiperbolne funkcije Osnovne hiperbolne funkcije su: sinus hiperbolni: kosinus hiperbolni: Prethodne dvije funkcije su ujedno redomi neparni i parni dio eksponencijalne funkcije. Iz njih se izvode tangens i kotangens hiperbolni: tangens hiperbolni: kotangens hiperbolni: Rijetko se koriste: sekans hiperbolni: kosekans hiperbolni:
Area funkcije Hiperbolne funkcije nisu periodične, za razliku od običnih trigonometrijskih funkcija, stoga mogu imati prave inverze. Inverzi hiperbolnih funkcija su area funkcije (oznaka: Ar); to je hiperbolni analogon arkus funkcijama na kružnici:
area sinus hiperbolni, Arsh area kosinus hiperbolni, Arch area tangens hiperbolni, Arth area kotangens hiperbolni, Arcth, itd.
Hiperbolni sinus, tangens i kotangens su neparne funkcije, te stoga imaju prave inverze, dok je kosinus hiperbolni paran, pa area kosinus hiperbolni definiramo kao inverz desne polovice (x ≥ 0) funkcije ch x.
Jednakosti
Derivacije
Zbog svojih banalnih derivacija, area funkcije se relativno često pojavljuju kao integrali jednostavnijih funkcija.
Sinus hiperbolni i kosinus hiperbolni jednaki su vlastitoj drugoj derivaciji:
Sve funkcije s tim svojstvom (uključujući ex i e−x) su linearne kombinacije sh i ch.
Vidi i Popis integrala hiperbolnih funkcija Popis integrala inverznih hiperbolnih funkcija
Vanjske poveznice Hiperbolne funkcije, Hrvatska enciklopedija Elementarne funkcije, grad.hr
Kategorija:Trigonometrija