Matematički model opisuje sustav koristeći matematičke koncepte i jezik. Proces razvoja matematičkog modela naziva se matematičkim modeliranjem. Matematički modeli se koriste u prirodnim znanostima s (kao što su fizika, biologija, znanost o zemlji, kemija i inženjerske discipline (npr. kao računalna znanost, elektrotehnika), kao i u društvenim znanostima (npr. ekonomija, psihologija, sociologija, političke znanosti).
Model može pomoći u objašnjavanju sustava i proučavanju učinaka različitih komponenti i predviđanju ponašanja.
Elementi matematičkog modela Matematički modeli mogu imati različite oblike, uključujući dinamičke sustave, statističke modele s, diferencijalne jednadžbe, ili teorijske modele igara. Ovi i drugi tipovi modela mogu se preklapati s danim modelom koji uključuje različite apstraktne strukture. Općenito, matematički modeli mogu uključivati logičkih modela. U mnogim slučajevima kvaliteta znanstvenog polja ovisi o tome koliko se matematički modeli razvijeni na teoretskoj strani slažu s rezultatima ponovljivih eksperimenata. Nedostatak suglasnosti između teorijskih matematičkih modela i eksperimentalnih mjerenja često dovodi do važnih napretka jer se razvijaju bolje teorije.
U fizičkim znanostima, tradicionalni matematički model sadrži većinu sljedećih elemenata: Jednadžbe upravljanja Dodatni pod-modeli Definiranje jednadžbi Konstitutivne jednadžbe Pretpostavke i ograničenja Početno i rubni uvjeti Klasična ograničenja i kinematičke jednadžbe
Klasifikacije Matematički modeli obično se sastoje od odnosa i varijabli '. Odnosi se mogu opisati operatori , kao što su algebarski operatori, funkcije, diferencijalni operatori, itd. Varijable su apstrakcije sustava parametri od interesa, to može biti kvantifikacija (znanost). Za matematičke modele prema njihovoj strukturi moguće je koristiti nekoliko klasifikacijskih kriterija: 'Linearni nasuprot nelinearnom:' Ako svi operatori u matematičkom modelu pokazuju linearnost, dobiveni matematički model je definiran kao linearan. Smatra se da je model inače nelinearan. Definicija linearnosti i nelinearnosti ovisi o kontekstu, a linearni modeli mogu imati u njima nelinearne izraze. Na primjer, u statističkom linearnom modelu, pretpostavlja se da je odnos u parametrima linearan, ali može biti nelinearan u prediktorskim varijablama. Slično tome, za diferencijalnu jednadžbu se kaže da je linearna ako se može zapisati linearnim diferencijalnim operatorom s, ali još uvijek može imati nelinearne izraze u njemu. U modelu matematičko programiranje, ako su objektivne funkcije i ograničenja u potpunosti predstavljeni linearnom jednadžbom s, tada se model smatra linearnim modelom. Ako je jedna ili više objektivnih funkcija ili ograničenja predstavljena jednadžbom nelinearnosti, tada je model poznat kao nelinearni model. Nelinearnost, čak iu prilično jednostavnim sustavima, često je povezana s pojavama kao što je kao kaos i nepovratnost. Iako postoje iznimke, nelinearni sustavi i modeli teže proučavaju od linearnih. Uobičajeni pristup nelinearnim problemima je linearizacija, ali to može biti problematično ako se pokušava istražiti aspekte kao što je ireverzibilnost, koja je snažno povezana s nelinearnošću. 'Statički nasuprot dinamici:' 'dinamički' 'model računa na vremenski ovisne promjene stanja sustava, dok' 'statički' '(ili stacionarni) model izračunava sustav u ravnoteže, i stoga je vremenski nepromjenljiva. Dinamički modeli tipično su predstavljeni diferencijalnom jednadžbom s ili diferencijalna jednadžba s. 'Eksplicitno nasuprot implicitno:' Ako su svi ulazni parametri cjelokupnog modela poznati, a izlazni parametri se mogu izračunati pomoću konačnih serija računanja, za model se kaže da je eksplicitan ., Ali ponekad su poznati parametri "izlaz", a odgovarajući ulazi moraju biti riješeni iterativnim postupkom, kao što je Newtonova metoda (ako je model linearan) ili Broydenova metoda (ako je nelinearno). U tom slučaju se kaže da je model implicitan . Na primjer, fizička svojstva mlaznog motora kao što su područja turbine i grla mlaznice mogu se eksplicitno izračunati s obzirom na konstrukciju termodinamički ciklus (protoka zraka i protoka goriva, tlakova i temperatura) na određenom letu stanja i snage, ali radni ciklusi motora u drugim uvjetima leta i postavkama snage ne mogu se eksplicitno izračunati iz konstantnih fizičkih svojstava. 'Diskretni vs kontinuirani:' [diskretni model diskretnog modela] tretira objekte kao diskretne, kao što su čestice u molekularnom modelu ili stanja u statističkom modelu ; dok kontinuirani model predstavlja objekte na neprekidan način, kao što je brzinsko polje fluida u cjevovodima, temperature i naprezanja u čvrstom, i električno polje koje se kontinuirano primjenjuje na cijeli model zbog točkastog naboja. 'Deterministički vs probabilistički (stohastički):' [deterministički sustav | deterministički] model je onaj u kojem je svaki skup varijabilnih stanja jedinstveno određen parametrima u modelu i skupovima prethodnih stanja tih varijable; dakle, deterministički model uvijek obavlja isti način za zadani skup početnih uvjeta. Nasuprot tome, u stohastičkom modelu - koji se obično naziva "statistički model" - slučajnost je prisutna, a varijabilna stanja nisu opisana jedinstvenim vrijednostima, već distribucijom vjerojatnosti. 'Deduktivni, induktivni ili plutajući:' deduktivni model je logička struktura temeljena na teoriji. Indukcijski model proizlazi iz empirijskih nalaza i generalizacije iz njih. Plutajući model ne počiva ni na teoriji ni na promatranju, već je samo pozivanje na očekivanu strukturu. Primjena matematike u društvenim znanostima izvan ekonomije kritizirana je zbog neosnovanih modela. Primjena teorije katastrofe u znanosti okarakterizirana je kao plutajući model.
Značaj u prirodnim znanostima
Matematički modeli od velike su važnosti u prirodnim znanostima, osobito u [fizici]. Fizičke [teorijske teorije] gotovo uvijek su izražene pomoću matematičkih modela.
Kroz povijest, razvijeni su sve točniji matematički modeli. Newtonovi zakoni točno opisuju mnoge svakodnevne pojave, ali u određenim granicama [teorija relativnosti] i kvantna mehanika moraju se koristiti; čak i oni se ne primjenjuju na sve situacije i potrebno je dodatno poboljšanje . Moguće je dobiti manje točne modele u odgovarajućim granicama, na primjer, relativistička mehanika se svodi na newtonsku mehaniku na brzinama mnogo manje od brzine svjetlosti. Kvantna mehanika se svodi na klasičnu fiziku kada su kvantni brojevi visoki. Primjerice, de Broglieva valna duljina teniske lopte neznatno je mala, tako da je klasična fizika u ovom slučaju dobra aproksimacija.
Uobičajeno je da se idealizirani modeli u fizici pojednostave. Bezmasne užad, točkaste čestice, idealni plinovi i čestica u kutiji su među mnogim pojednostavljenim modelima koji se koriste u fizici. Zakoni fizike su predstavljeni jednostavnim jednadžbama kao što su Newtonovi zakoni, Maxwell-ove jednadžbe i Schrödingerova jednadžba. Ti su zakoni osnova za izradu matematičkih modela realnih situacija. Mnoge stvarne situacije vrlo su složene i na taj način modelirane na računalu, model koji je računski izvodljiv za izračunavanje je napravljen od osnovnih zakona ili iz približnih modela napravljenih iz osnovnih zakona. Na primjer, molekule se mogu modelirati modelima molekularnih orbitalnih koji su približna rješenja za Schrödingerovu jednadžbu. U engineering, modeli fizike se često izrađuju matematičkim metodama kao što je analiza konačnih elemenata.
Različiti matematički modeli koriste različite geometrije koje nisu nužno točni opisi geometrije svemira. Euklidska geometrija se mnogo koristi u klasičnoj fizici, dok su posebna relativnost i opća relativnost primjeri teorija koje koriste geometrije koje nisu euklidske.
Neke aplikacije Od pretpovijesna vremena korišteni su jednostavni modeli kao što su [mapa] i dijagrami.
Često kada inženjeri analiziraju sustav koji se kontrolira ili optimizira, oni koriste matematički model. U analizi, inženjeri mogu izgraditi deskriptivni model sustava kao hipotezu o tome kako bi sustav mogao funkcionirati ili pokušati procijeniti kako bi nepredvidivi događaj mogao utjecati na sustav. Slično tome, u kontroli sustava inženjeri mogu isprobati različite pristupe kontrole u simulaciji s.
Matematički model obično opisuje sustav pomoću set varijabli i skup jednadžbi koje uspostavljaju odnose između varijabli. Varijable mogu biti mnogih vrsta; real ili integer brojevi, boolean vrijednosti ili stringova, na primjer. Varijable predstavljaju neka svojstva sustava, na primjer, mjerene izlazne vrijednosti sustava često u obliku signala, timing data, brojači i pojava događaja (da / ne), Stvarni model je skup funkcija koje opisuju odnose između različitih varijabli.
Sastavni blokovi U business i engineering, matematički modeli mogu se koristiti za maksimiziranje određenog izlaza. Sustav koji se razmatra zahtijevat će određene ulazne podatke. Sustav koji povezuje ulaze s izlazima također ovisi io drugim varijablama: varijable odluke, varijable stanja s, egzogene varijable, i slučajna varijabla s.
Varijable odlučivanja ponekad se nazivaju nezavisnim varijablama. Egzogene varijable ponekad se nazivaju parametar s ili konstanta s. Varijable nisu neovisne jedna od druge jer varijable stanja ovise o odluci, ulaznim, slučajnim i egzogenim varijablama. Nadalje, izlazne varijable ovise o stanju sustava (koje predstavljaju varijable stanja).
Objective s i ograničenje s sustava i njegovih korisnika mogu biti predstavljeni kao funkcija s izlaznih varijabli ili varijabli stanja. Function purpose će ovisiti o perspektivi korisnika modela. Ovisno o kontekstu, funkcija cilja je također poznata kao indeks performansi , jer je to neka mjera od interesa za korisnika. Iako ne postoji ograničenje broja objektivnih funkcija i ograničenja koje model može imati, korištenje ili optimizacija modela postaje sve uključeniji (računski) kako se broj povećava.
Primjerice, ekonomist se često koristi linearna algebra kada koristi input-output model s. Komplicirani matematički modeli koji imaju mnogo varijabli mogu se konsolidirati korištenjem vectors gdje jedan simbol predstavlja nekoliko varijabli.
Prioritetne informacije thumb | 480px | Da bismo analizirali nešto s tipičnim pristupom "crne kutije", računat će se samo ponašanje stimulusa / odgovora, kako bi se zaključilo (nepoznato) okvir , Uobičajeni prikaz ovog sustava crne kutije je dijagram toka podataka centriran u kutiji.
Problemi s matematičkim modeliranjem često se svrstavaju u modele [crne kutije] ili bijela kutija, prema tome koliko je a priori informacija o sustavu dostupno. Model crne kutije je sustav za koji ne postoje a priori informacije. Model bijele kutije (također nazvan staklena kutija ili prozirna kutija) je sustav u kojem su dostupne sve potrebne informacije. Praktično svi sustavi nalaze se negdje između modela crne kutije i bijelih kutija, pa je ovaj koncept koristan samo kao intuitivni vodič za odlučivanje o pristupu.
Obično je poželjno koristiti što više a priori informacija kako bi model bio točniji. Stoga se modeli bijele kutije obično smatraju lakšim, jer ako ste ispravno upotrijebili podatke, model će se ponašati ispravno. Često a priori informacije dolaze u obliku poznavanja vrste funkcija koje se odnose na različite varijable. Na primjer, ako napravimo model kako lijek djeluje u ljudskom sustavu, znamo da je obično količina lijeka u krvi funkcija eksponencijalnog raspada eksponencijalno raspadajuće. Ali još uvijek nam ostaje nekoliko nepoznatih parametara; koliko se brzo smanjuje količina lijeka i kolika je početna količina lijeka u krvi? Ovaj primjer stoga nije potpuno bijeli model. Ovi parametri moraju se procijeniti na neki način prije nego što se može koristiti model.