David Hilbert, nado en KönigsbergSegundo declaración propia. Porén é probábel que nacera preto de Königsberg, en Wehlau (coñecido como Znamensk desde 1946), pois na data do seu nacemento o seu pai traballaba alí o 23 de xaneiro de 1862 e finado en Gotinga o 14 de febreiro de 1943, foi un matemático alemán. Está recoñecido como un dos matemáticos máis influentes e universais de finais do século XIX e comezos do XX.
Descubriu e desenvolveu un amplo número de ideas fundamentais en moitas áreas, como a teoría de invariantes e a axiomatización da xeometría. Tamén formulou a teoría dos espazos de Hilbert, un dos fundamentos da análise funcional. Hilbert adoptou e defendeu vehementemente a teoría de conxuntos e os números transfinitos de Cantor. Un exemplo célebre do seu liderado nas matemáticas foi a presentación en 1900 no Congreso Internacional de Matemáticos de París dunha colección de 23 problemas que marcaron o curso de gran parte da investigación matemática do século XX.
Xunto cos seus discípulos, contribuíu significativamente a establecer rigor e desenvolver importantes ferramentas usadas na física matemática moderna. Hilbert é recoñecido como un dos fundadores da teoría da proba e a lóxica matemática, así como por ser un dos primeiros en distinguir entre matemáticas e metamatemáticas.
En pugna por demostrar correctamente algúns dos erros cometidos por Einstein, na teoría xeral da relatividade, David Hilbert adiantouse ás correccións de Einstein, con todo nunca quixo outorgarse o mérito. Minkowski, o mellor e máis sincero amigo de Hilbert morreu prematuramente dunha apendicite perforada en 1909. Pertencía ao selecto grupo de fellows da Royal Society.
Traxectoria Hilbert, foi o primeiro dos dous fillos de Otto e Maria Therese (nada Erdtmann) Hilbert, naceu en Prusia Oriental -quizais en Königsberg (de acordo ao afirmado por el mesmo) ou Wehlau (actualmente Znamensk) ao lado de Königsberg onde traballaba o seu pai. Comezou os seus estudos no Friedrichskolleg Gymnasium (Collegium Fridericianum, a mesma escola onde estudou Immanuel Kant 140 anos antes), pero trasladouse ao Wilhelm Gymnasium, unha escola con máis orientación científica, onde se graduou en 1880. O mesmo ano ingresou na Universidade de Königsberg, a "Albertina". Aquí coñeceu a Hermann Minkowski (dous anos máis novo que el); esta amizade inclinouno definitivamente polas matemáticas en contra do parecer do seu pai. En 1884, chegou á Universidade, como profesor asociado, Adolf Hurwitz procedente de Gotinga e estableceuse un intenso e frutal intercambio entre os tres. Hilbert obtivo o seu doutoramento en 1885, cunha tese escrita baixo a supervisión de Ferdinand von Lindemann, titulada Über invariante Eigenschaften spezieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunktionen ("Sobre as propiedades invariantes das fórmulas binarias especiais, en particular das funcións harmónicas esféricas").
Hilbert permaneceu na Universidade de Königsberg como profesor desde 1886 ata 1895. En 1892, casou con Käthe Jerosch (1864-1945), con quen tivo un fillo: Franz Hilbert (1893 ata 1969). En 1895, e grazas á intervención de Felix Klein no seu favor, obtivo a posición de catedrático de matemáticas na Universidade de Gotinga, o centro máis prestixioso de investigación en matemáticas da época, no que permaneceu ata a fin dos seus días.
O seu fillo Franz sufriu para sempre unha enfermidade mental sen diagnosticar: a súa inferioridade intelectual era unha decepción terrible para o seu pai e esta desgraza era un asunto de preocupación polos matemáticos e estudantes en Gotinga. Minkowski, o mellor e máis sincero amigo de Hilbert morreu prematuramente dunha apendicite perforada en 1909.
Entre os seus 69 estudantes de doutoramento en Gotinga hai moitos que despois se converteron en famosos matemáticos, por exemplo (coa data da súa tese): Otto Blumenthal (1898), Felix Bernstein (1901), Hermann Weyl (1908), Richard Courant (1910), Erich Hecke (1910), Hugo Steinhaus (1911), ou Wilhelm Ackermann (1925). Entre os anos 1902 e 1939 Hilbert foi editor de Mathematische Annalen, a revista de matemáticas máis importante daqueles tempos.
En 1899 publicou Grundlagen der Geometrie (Fundamentos da xeometría), un estudo sistemático dos seus axiomas básicos que representou unha revolución, presentando a disciplina baseada única e exclusivamente en 21 axiomas e promovendo o enfoque axiomático das matemáticas. Esta obra pódese considerar das máis influentes nas matemáticas do século XX.
O ano seguinte, 1900, Hilbert presentou ao Congreso da Unión Matemática Internacional a súa conferencia na que presentou os retos da matemática do século XX: estes son os famosos 23 Problemas de Hilbert, entre os que se atopaba a demostración da Hipótese de Riemann, a día de hoxe aínda non resolta. Foi unha conferencia chea de optimismo no poder das matemáticas.
En 1928 publica con Wilhelm Ackermann os Principios de lóxica matemática no que se establece a distinción entre Matemáticas e Metamatemàtiques.
En 1930, Hilbert retirouse, sendo substituído na cátedra por Hermann Weyl. Non obstante permaneceu na cidade de Gotinga exercendo a súa influencia no departamento de Matemáticas da Universidade. En 1934 e 1939 publicáronse os dous volumes de Grundlagen der Mathematik (Fundamentos das Matemáticas) en colaboración con Paul Bernays e nos que intentaba establecer unha Teoría da demostración.
Últimos anos Hilbert aínda vivía cando o nazismo vai podar moitos dos prominentes membros da Universidade de Gotinga en 1933. Esta persecución obrigou a exiliarse a Hermann Weyl (o seu sucesor), Emmy Noether, Otto Neugebauer, Richard Courant e outros. Outros colegas tiveron menos sorte: Edmund Landau morreu en 1938 e Otto Blumenthal foi deportado e morto no Campo de concentración de Theresienstadt.
En 1934, Hilbert foi invitado a un banquete no que estaba sentado a carón do novo ministro de educación, Bernhard Rust. Rust preguntoulle, Como están as matemáticas en Gotinga, agora que as liberamos da influencia xudía? Hilbert respondeu, 'Matemáticas en Gotinga? Xa non quedan!. Cando Hilbert morría en 1943, en plena Guerra Mundial, os nazis cambiaran todo o persoal da Universidade, xa que a maior parte dos membros do departamento eran xudeus, estaban casados con xudeus ou tiñan simpatías esquerdistas. Ao funeral de Hilbert asistiron só unha ducia de persoas, das cales só dúas eran colegas académicos, entre eles Arnold Sommerfeld, un físico teórico tamén nativo de Königsberg. A noticia da súa morte só foi mundialmente coñecida logo de seis meses de morrer.
O epitafio gravado na súa tumba no cemiterio de Gotinga é o famoso epigrama que deu como conclusión no seu discurso de despedida ao retirarse en 1930. Estas palabras eran unha resposta á máxima latina: "Ignoramus che ignorabimus" ou "Non sabemos, non podemos saber":
Wir müssen wissen. Wir werden wissen.
En galego: Temos que saber. Imos saber.
Solución de Hilbert ao problema de Gordan O primeiro traballo de Hilbert sobre as funcións invariantes levouno en 1888 á demostración do seu famoso teorema da finitude. Vinte anos antes, Paul Gordan (1837-1912) demostrara o teorema da finitude dos xeradores para as fórmulas binarias, utilizando unha aproximación computacional complexa. Os intentos de xeneralizar o seu método a funcións con máis de dúas variables fallaron debido á enorme dificultade que implicaban os cálculos. Para solucionar o que se coñecía nalgúns círculos como o Problema de Gordan, Hilbert deuse conta de que era necesario tomar un camiño completamente diferente. Como resultado, demostrou o teorema da base de Hilbert, demostrando a existencia dun conxunto finito de xeradores, os invariantes das fórmulas alxébricas con calquera número de variables, pero dun xeito abstracto. É dicir, demostrando a existencia do conxunto, pero sen construílo -non mostrou "un obxecto"- senón que simplemente demostrou a existencia, e baseábase no principio do terceiro excluído nunha extensión infinita.
Hilbert enviou os seus resultados o Mathematische Annalen. Gordan, o experto da teoría de invariantes do Mathematische Annalen, non apreciou a natureza revolucionaria do teorema de Hilbert e rexeitou o artigo, criticando a exposición porque non era suficientemente comprensible. O seu comentario foi:
Das ist nicht Mathematik. Das ist Theologie. (Isto non é Matemáticas. Isto é Teoloxía.)
Klein, por outra banda, recoñeceu a importancia do traballo, e garantiu que sería publicado sen ningunha alteración. Animado por Klein, Hilbert, nun segundo artigo, estendeu o seu método, proporcionando estimacións sobre o grao máximo do conxunto de xeradores máis pequeno, e enviouno de novo ao Annalen. Logo de ler o manuscrito, Klein escribiulle, dicindo:
Sen dúbida isto é o traballo máis importante en álxebra xeral que o Annalen nunca publicou.
Máis tarde, despois de que a utilidade do método de Hilbert fose universalmente recoñecida, Gordan diríalle:
Convencinme de que ata a teoloxía ten os seus méritos.
Polo seu éxito, a natureza da súa demostración levantou máis problemas dos que Hilbert podería imaxinar nese momento. Aínda que Kronecker admitiuno, Hilbert máis tarde respondeu a outras críticas similares afirmando que "moitas construcións diferentes están subsumidas baixo unha idea fundamental", noutras palabras, citando a Constance Reid: A través dunha proba de existencia , Hilbert fora capaz de obter unha construción: "a demostración" era o "obxecto". Non todos estaban convencidos. Mentres Kronecker morrería pouco tempo despois, a súa filosofía construtivista continuaría co mozo Brouwer e o seu desenvolvemento da escola intuicionista, para tormento de Hilbert nos anos seguintes. De feito Hilbert perdería o seu "alumno superdotado", Weyl, que se pasou ao intuicionismo -"Hilbert molestouse pola fascinación do seu antigo discípulo coas ideas de Brouwer, o cal espertaba dentro de Hilbert a memoria de Kronecker". Brouwer, o intuicionista, en particular, opúxose á utilización do Principio do Terceiro Excluído sobre conxuntos infinitos (mentres Hilbert o utilizara). Hilbert responderia:
Coller o Principio do Terceiro Excluído das matemáticas ... É o mesmo que ... Prohibir ao boxeador o uso dos seus puños.
Axiomatización de xeometría
O texto Grundlagen der Geometrie (Fundamentos de Xeometría) publicado por Hilbert en 1899 propón un conxunto formal, os Axiomas de Hilbert, substituíndo as tradicionais definicións, postulados e nocións comúns dos Elementos de Euclides. Evitan as debilidades identificadas nas definicións de Euclides, obra aínda vixente e libro de referencia para a xeometría da época. Pouco despois, en 1902, un mozo de 19 anos o estudante americano Robert Lee Moore demostrou que un dos axiomas de Hilbert (o coñecido teorema de Pasch) era innecesario por redundante.
A aproximación de Hilbert sinalaba o cambio ao moderno sistema axiomático. Nisto, o traballo de Peano en aritmética, anticipouse a Hilbert, en 1889. Os axiomas non se toman como verdades manifestas. A matemática pode tratar cousas, das que temos intuicións poderosas, pero non hai que asignar un significado explícito aos conceptos non definidos. Elementos, como punto, recta, plano, e outros, poderían ser substituídos, como Hilbert di, por mesas, cadeiras, xarras de cervexa e outros obxectos.
Hilbert, primeiro, enumera os conceptos non definidos: punto, recta, plano etc. Despois formaliza as súas relacións (Axiomas) de Incidencia, Orde, Continuidade e Congruencia máis unha relación especial de Paralelismo. Os axiomas unifican xeometría plana e a xeometría do espazo de Euclides nun único sistema.
Os 23 problemas de Hilbert