miniatura|Portada do libro I dunha tradución española de 1576 dos Elementos de Euclides, no que se mostran algunhas das primeiras probas matemáticas. Unha proba ou demostración matemática é un razoamento convincente dentro dos estándares vixentes conducente a que algunha proposición é necesariamente certa. Realízase cunha lóxica válida que progresa a partir de ideas que se dan por certas, chamadas hipóteses, ata a afirmación formulada, chamada tese, da que se quere obter a veracidade. Estes pasos deben estar fundamentados na aplicación de regras de dedución, fundadas xa sexa en enuciados xeralmente aceptados coñecidos como axiomas, ou en teoremas anteriormente demostrados, ou en regras básicas de dedución do sistema en cuestión.
Características As probas obtéñense mediante o razoamento dedutivo máis que por argumentos indutivos ou empíricos. Ou sexa, unha proba debe demostrar que unha proposición é certa en tódolos casos, sen excepción (ocasionalmente enumerando todos os casos posíbeis e mostrando que se sostén en todos eles), máis ca enumerando moitos casos confirmatorios. Unha proposición non demostrada que se considera certa coñécese como conxectura.
Unha proposición probada adoita denominarse teorema. Unha vez que se proba unha proposición, pódese empregar coma base para probar outras proposicións. A un teorema pódeselle chamar tamén lema, especialmente se se pretende usar como paso na proba doutro teorema.
As probas empregan a lóxica mais adoitan incluír unha parte de linguaxe natural que polo xeral admite certa ambigüidade. De feito, a maior parte das probas das matemáticas escritas pódense considerar aplicacións da lóxica informal rigorosa. As probas formais, escritas en linguaxe simbólica e non en natural, trátanse na teoría da proba.
A distinción entre proba formal e proba informal liderou moita da investigación das matemáticas actuais e históricas, o cuasi-empirismo nas matemáticas e o presunto folclore matemático (en ámbolos dous sentidos do termo). A filosofía das matemáticas trata sobre o rol da linguaxe e a lóxica nas probas, e sobre as matemáticas en calidade de linguaxe.
Historia e etimoloxía A palabra "proba" provén do latín probare co significado de "verificar". O termo equivalente "demostración" deriva tamén do latín "demonstrationem" (nominativo "demonstratio"), nome de acción cuxa raíz e o participio pasado de "demonstrare" que significa sinalar, indicar.
Argumentos que usaban dispositivos heurísticos como debuxos e analoxías poden considerarse como precedentes das demostracións matemáticas estritas. É probábel que a idea de demostrar unha conclusión xurdira primeiramente en conexión coa xeometría, cuxo significado orixinal foi o de "medida da terra". O desenvolvemento da proba matemática foi primeiramente un produto dos matemáticos gregos antigos, e un dos seus máis grandes logros. Tales (624-546 a.C.) demostrou algúns teoremas de xeometría. Eudoxo (408-355 a.C.) e Teeteto (417-369 a.C.) formularon teoremas aínda que non os probaron. Aristóteles (384-322 a.C.) deu definicións que describían o concepto a partir doutros conceptos xa coñecidos. As demostracións matemáticas foron revolucionadas por Euclides, quen introduciu o método axiomático que ségue usándose hoxe en día, partindo de termos indefinidos e axiomas (proposicións referentes aos termos indefinidos que se admiten como verdades auto-evidentes; do grego "axios" que significa algo meritorio), proba teoremas usando a lóxica dedutiva. O seu libro, Os Elementos foi lido no mundo occidental por toda persoa considerada educada ata mediados do século XX. Ademais dos máis familiares teoremas de xeometría, como o teorema de Pitágoras, os Elementos inclúen demostracións de que a raíz cadrada de dous é irracional e de que hai infinitos números primos.
Posteriores avances tiveron lugar nas matemáticas islámicas do medievo. Mentres que as primeiras demostracións gregas baseábanse en longas probas xeométricas, o desenvolvemento da aritmética e da álxebra polos matemáticos islámicos permitiu demostracións máis xerais que non dependían da xeometría. No século X, o matemático do que hoxe é Iraq, Al-Hashimi deu demostracións xerais (máis ca xeométricas) para números, considerando a multiplicación, a división etc. como "liñas". Este método usouno para probar a existencia de números irracionais. Unha demostración indutiva para progresións aritméticas foi introducida no ano 1000 por Al-Karaji na súa obra Al-Fakhri, na que demostra a fórmula xeral da potencia dun binomio , chamada ás veces teorema do binomio, e propiedades do triángulo de Pascal ou de Tartaglia. O método de demostración da redución ao absurdo foi desenvolvido por Alhazen, usándoo nunha primeira tentativa de probar o quinto postulado de Euclides.
A moderna teoría da proba trata as demostracións como estruturas de datos definidas indutivamente. Non hai unha asunción explícita de que os axiomas son "verdadeiros" dalgún xeito; isto permite construír teorías matemáticas paralelas con conxuntos de axiomas contraditorios entre si. Exemplos disto son a teoría axiomática de conxuntos e as xeometrías non euclidianas.
Natureza e propósito Na práctica, unha demostración exprésase nunha linguaxe natural e é un argumento rigoroso destinado a convencer a unha audiencia da verdade dunha enunciado. O estándar de rigor non é absoluto e variou ao longo de historia. Unha demostración pode ser presentada de xeitos diferentes dependendo da audiencia prevista. Para gañar aceptación, unha proba ten que cumprir estándares de rigor xeralmente aceptados; un argumento considerado impreciso ou incompleto pode ser rexeitado.
O concepto de demostración formalízase no campo da lóxica matemática. Unha demostración formal escríbese nunha linguaxe formal en lugar dunha linguaxe natural. Unha proba formal defínese como unha secuencia de fórmulas nunha linguaxe formal na que cada fórmula é unha consecuencia lóxica das precedentes. Ter unha definición de demostración formal fai que o concepto de demostración sexa susceptíbel de estudo. De feito, a rama da teoría da proba estuda as demostracións formais e as súas propiedades, por exemplo, a propiedade de que un enunciado ten unha demostración formal. Unha aplicación da teoría da proba é mostrar que certos enunciados indecidíbeis non se poden demostrar.
A definición de demostración formal tende a captar o concepto das demostracións tal como se escriben na práctica das matemáticas. A solvencia desta definición equivale á crenza en que unha demostración publicada pode, en principio, converterse nunha demostración formal. Porén, fóra do campo dos asistentes de demostracións automatizadas, é raro que se faga isto na práctica. Unha cuestión clásica en filosofía é a de se as demostracións matemáticas son analíticas ou sintéticas. Kant, quen introduciu a distinción analítica-sintética, cría que as demostracións matemáticas son sintéticas. miniatura|Paul Erdős dicía que as demostracións especialmente fermosas viñan do "Libro". As demostracións poden considerarse como obxectos estéticos, admirados pola súa beleza matemática. O matemático húngaro Paul Erdős foi coñecido por describir aquelas demostracións que el achaba particularmente elegantes, como que proviñan do "Libro", un hipotético volume que contiña os métodos de demostración máis fermosos de cada teorema. O libro "Demostracións desde O LIBRO", publicado en 2003, presenta 32 demostracións que os seus editores acharon especialmente agradábeis.
Métodos de proba Proba directa
Na proba directa, a conclusión establécese mediante a combinación lóxica de axiomas, definicións e teoremas previos. Por exemplo, a demostración directa pode usarse para probar que a suma de dous números pares é outro número par:
Consideremos dous enteiros pares x e y. Por ser pares, poden escribirse como x = 2a e y = 2b, respectivamente, para enteiros a e b. Entón a suma x + y = 2a + 2b = 2(a+b). Polo tanto x+y ten a 2 como factor e, por definición, é par. En conclusión a suma de dous enteiros pares é par.
Esta proba usa a definición de enteiros pares, as propiedades de seren a suma e a multiplicación operacións internas no conxunto dos números enteiros, e a distributiva do produto respecto da suma.
Demostración por indución matemática
A indución matemática non é unha forma de razoamento indutivo. Nas probas por indución matemática, demóstranse un "caso básico" simple, e unha "regra de indución", que establece que un certo caso implica o seguinte caso. Aplicando a regra de indución repetidamente, comezando polo caso básico demostrado independentemente, demóstranse moitos, frecuentemente infinitamente moitos, outros casos. Xa que o caso básico é verdadeiro, a infinitude dos outros casos teñen que ser tamén verdadeiros, mesmo se todos eles non poden ser probados directamente debido a ser un número infinito. Un subconxunto de indución é un descenso infinito. O descenso infinito pode usarse para probar a irracionalidade da raíz cadrada de dous.
Unha aplicación habitual da demostración por indución matemática é probar que unha propiedade que se verifica para un número, é certa para todos os números naturais: Sexa o conxunto dos números naturais, e sexa un enunciado matemático concerniente ao número natural n tal que: (i) é certo, isto é, é certo para . (ii) é certo se é certo, é dicir, a veracidade de implica a veracidade de . Entón é certo para todos os números naturais .
Por exemplo, podemos probar por indución que todos os enteiros da forma 2n + 1 son impares: (i) Para n = 1, 2n + 1 = 2(1) + 1 = 3, e 3 é impar. Polo tanto é certo. (ii) Sexa 2n + 1 para algún n, entón 2(n+1) + 1 = (2n+1) + 2. Se 2n + 1}} é impar, entón (2n+1) + 2 será tamén impar, pois engadindo 2 a un número impar resulta outro número impar. Polo tanto é certo se é certo. Entón 2n + 1 é impar, para todo número natural n.
É habitual usar a frase "demostración por indución" no canto de "demostración por indución matemática
Proba por contraposición
A proba por contraposición infire a conclusión "se p entón q" da premisa "se non q entón non p". O enunciado "se non q entón non p" chámase o contrapositivo do enunciado "se p entón q". Por exemplo, a contraposición pode usarse para establecer que, dado un enteiro x, se x² é par, entón x é par:
Supoñamos que x non é par. Entón x é impar. O produto de dous números impares é impar, polo tanto x² = x·x é impar. En conclusión x² non é par.
Proba por redución ao absurdo
Na demostración por redución ao absurdo, ou reductio ad absurdum, próbase que unha proposición matemática é certa supoñendo que non o é e chegando a unha contradición, co cal a proposición ten que ser verdadeira. Un famoso exemplo de demostración por redución ao absurdo é a proba de que a raíz cadrada de dous é irracional:
Supóñase que é un número racional, entón por definición onde a e b son enteiros non nulos primos entre si. Despexando a: , e elevando ao cadrado ambos membros: 2b2 = a2. É dicir, 2 divide ao primeiro membro da igualdade e, xa que logo, 2 debe dividir tamén ao segundo membro (pois ambos membros son enteiros iguais). Polo tanto a2 é par, o cal implica que a debe ser tamén par. Logo podemos escribir a = 2c, onde c é tamén un enteiro. Substituíndo na igualdade inicial obtemos que: 2b2 = (2c)2 = 4c2. Dividindo ambos membros por 2: b2 = 2c2. Repedindo o razoamento anterior para esta última igualdade, resulta que 2 divide a b2, co cal b debe ser par. Porén, se a e b son ambos pares, teñen a 2 como factor común e non serían primos entre si, o cal está en contradición coa hipótese de que eran primos entre si. Isto lévanos a concluír que é un número irracional.
Demostración construtiva