dereita|miniatura|Traxectoria dunha partícula ao longo dunha curva dentro dun campo vectorial. Na parte inferior están os vectores do campo vistos pola partícula a medida que viaxa pola curva. A suma dos produtos escalares deses vectores co vector tanxente da curva en cada punto da traxectoria dá como resultado a integral de liña. No eido das matemáticas, unha integral de liña é aquela integral cuxa función a integrar é avaliada sobre unha curva. Os termos integral de curva, integral curvilínea e integral de traxectoria tamén son usados; o termo integral de contorno tamén é empregado aínda que tipicamente para integrais de liña no plano complexo. O seu estudo enmárcase no cálculo vectorial.
A función a ser integrada pode ser un campo escalar ou un campo vectorial, tamén chamadas función escalar e función vectorial respectivamente.
Algúns exemplos prácticos das aplicacións das integrais de liña poden ser:
O cálculo da lonxitude dunha curva no espazo. O cálculo do traballo que se realiza para mover algún obxecto ao longo dunha traxectoria tendo en conta campos de forzas (descritos por campos vectoriais) que actúen sobre o mesmo.
Integral de liña dun campo escalar miniatura|Integral de liña dun campo escalar
Definición Sexa unha curva suave a anacos parametrizada por unha función , se é un campo escalar continuo, a integral de liña do campo escalar sobre (tamén denominada integral de traxectoria), está definida como
A función é unha parametrización biyectiva arbitraria de , onde e son os puntos iniciais e finais respectivamente.
En particular, cando , entón obtemos a lonxitude da curva :
As integrais de liña de campos escalares son independentes da parametrización de xa que só depende da lonxitude do arco, e tamén o son da orientación de , isto é, se é unha curva simple orientada e denota a mesma curva pero con orientación oposta entón
Interpretación Xeometricamente, cando o campo escalar está definido sobre o plano , a súa gráfica é unha superficie no espazo, polo que a integral de liña interprétase como a área dun valado entre a base da imaxe de e a gráfica de .
Dedución Para motivar a definición da integral de liña sobre un campo escalar, consideremos sumas de Riemann .
Comecemos subdividindo o intervalo por medio da partición
o anterior conduce a unha descomposición de en traxectorias definidas no intervalo para . Se denotamos a lonxitude de arco de por entón, debido á definición de lonxitude dunha curva:
Cando , é dicir, é grande, a lonxitude de arco é pequena e é aproximadamente constante para puntos en . Consideremos as sumas
onde está definida para .
Polo teorema do valor medio, onde e . A partir da teoría de sumas de Riemann pode demostrarse que
Exemplo 1 Deséxase avaliar a integral de liña
sobre a hélice ,
En primeiro lugar nótese que
polo que
E como
Entón
Exemplo 2 Demostraremos que a lonxitude dunha circunferencia de raio é , é dicir, buscamos achar
sendo a lonxitude dunha circunferencia de radio .
Por simplicidade, consideremos unha circunferencia de raio centrada na orixe, polo que unha posible parametrización é
Dado que
Por ende
Integral de liña dun campo vectorial
Definición Sexan un campo vectorial continuo nunha rexión e unha curva suave a anacos parametrizada por unha función , a integral de liña do campo vectorial sobre na dirección de , está definida como
onde é o produto escalar e a función é unha parametrización biyectiva arbitraria de onde e son os puntos iniciais e finais, respectivamente.
As integrais de liña de campos vectoriais só son independentes da parametrización de , non son independentes da orientación de . Para este tipo de integrais, se é unha curva simple orientada e denota a mesma curva pero con orientación oposta entón
Relación coas integrais de liña de campos escalares Para traxectorias que satisfagan , é dicir, para curvas regulares, se
denota un vector tanxente unitario a , entón
onde , por tanto
Forma diferencial Outro xeito usualmente empregado para escribir unha integral de liña dun campo vectorial é a seguinte. Considere que é un campo vectorial en do xeito e é unha curva parametrizada por , entón
Dicimos que a expresión é unha forma diferencial. Estoutra notación pode estenderse a campos vectoriais en .
Integrais de liña sobre curvas pechadas Se é unha curva pechada simple, entón é común a notación
e para a forma diferencial
Teorema fundamental das integrais de liña
Campo vectorial conservativo Sexa unha función continua na rexión , dicimos que é un campo vectorial conservativo en se existe tal que , neste caso dicimos que é un campo potencial de .
Teorema Se é un campo vectorial conservativo en e unha curva suave a anacos parametrizada por unha función entón
En particular, se é unha curva orientada pechada e simple
O anterior di que cando é un campo vectorial conservativo, a integral de liña do devandito campo só dependerá dos puntos extremos da parametrización . Noutros termos, se empregamos outra traxectoria cos mesmos punto inicial e final, seguiremos obtendo o mesmo resultado. Polo tanto, dicimos que a integral de liña dun campo vectorial é independente da traxectoria se (e só se) é un campo vectorial conservativo.
Integrais de liña no plano complexo Na análise complexa, a integral de liña está definida en termos da multiplicación e adición de números complexos. Supóñase que é unha rexión aberta no plano complexo, é unha función e é unha curva de lonxitude finita parametrizada por
onde
Se a parametrización é continuamente diferenciable entón a integral de liña pode ser avaliada como unha integral dunha función de variable real:
Cando é analítica, a integral de liña posúe propiedades interesantes e pouco comúns como son o teorema integral de Cauchy-Goursat, a fórmula integral de Cauchy e o teorema de Liouville, cuxo resultado permite unha proba formal do importante teorema fundamental da álxebra.
Notas
Véxase tamén Outros artigos Ecuación paramétrica Integral de superficie Teorema de Green Teorema de Stokes Integral de superficie Teorema de Green Ligazóns externas Integral de liña dun campo vectorial (inglés) - Interactivo - Explicacións Gráficas
Categoría:Análise matemática Categoría:Cálculo vectorial