dereita|miniatura|Unha ilustració do teorema de Stokes, cunha superficie Σ, a súa fronteira ∂ e o vector normal . A dirección de circulación positiva do contorno , e a dirección do fluxo positivo a través da superficie Σ, están relacionados pola regra da man dereita (é dicir, os dedos da man dereita circulan ao longo de e o polgar está dirixido cara a ). O teorema de Stokes, tamén coñecido como teorema de Kelvin-Stokes após Lord Kelvin e George Stokes, teorema fundamental para rotacionais, ou sinxelamente teorema do rotacional, é un teorema do cálculo vectorial en . Dado un campo vectorial, o teorema relaciona a integral do rotacional do campo vectorial sobre unha superficie, coa integral de liña do campo ao redor da fronteira da superficie. O teorema clásico de Stokes pode ser enunciado nunha frase:
A integral de liña dun campo vectorial sobre un lazo é igual á integral de superficie do seu rotacional sobre a superficie rodeada.
O teorema de Stokes é un caso especial do teorema de Stokes xeneralizado. En particular, un campo de vectores en pode ser considerado como unha 1-forma, deste xeito o seu rotacional é a derivada exterior, unha 2-forma.
Teorema Sexa unha superficie diferenciable orientada en con fronteira . Se un campo vectorial está definido e ten derivadas parciais de primeira orde continuas nunha rexión que contén a , entón Máis explicitamente, a igualdade di que
O principal desafío nun enunciado preciso do teorema de Stokes é definir a noción de fronteira. Superficies como o copo de neve de Koch, por exemplo, sábese que teñen unha fronteira que non é Riemann-integrable, e a noción de medida de superficie na teoría de Lebesgue non se pode definir para unha superficie non Lipschitziana. Unha técnica (avanzada) é pasar a unha formulación débil e aplicar a maquinaria de teoría de medida xeométrica; para esta aproximación ver o fórmula da coárea. Neste artigo, polo contrario, utilizamos unha definición máis elemental, baseada no feito de que os subconxuntos de dimensión máxima de teñen un bordo ben definido.
Daremos un enunciado máis detallado para discusións posteriores. Sexa unha curva de Jordan diferenciable a anacos, é dicir, unha curva plana pechada e simple. O teorema da curva de Jordan implica que divide en dous compoñentes, un compoñente compacto e outro que non o é. Denotemos por a parte compacta; entón está limitada por .
Agora abonda con transferir esta noción de bordo ao longo dunha aplicación continua á nosa superficie en . Mais xa temos tal aplicación: a parametrización de .
Sexa diferenciable a anacos na veciñanza de , con .
Se é a curva espacial definida por , entón chamamos a o bordo de , que escribimos como .Mesmo se consideramos coordenadas polares bidimensionais, se deixamos ∂Σ = Γ, entón ∂Σ pode conter claramente un punto interior topolóxico de Σ. Non obstante, en variedades orientables combinatorias, isto non é un problema serio, xa que as integrais de liña sobre os puntos interiores cancélanse: nunha variedade orientable, a integral de liña sobre ∂Σ coincide coa integral de liña sobre o bordo verdadeiro. Un exemplo aínda máis importante é que este teorema tamén se aplica a variedades sen bordo topolóxico, como a esfera ou o toro. Nestes casos, se ∂Σ = Γ, entón ∂Σ está completamente contido en Σ. Porén, as integrais de liña resultantes sobre Γ cancélanse completamente. Isto permítenos afirmar que a integral de superficie do rotacional dun campo vectorial nunha variedade sen bordo é nula.
Coa notación anterior, se é calquera campo vectorial suave en , entónRobert Scheichl, apuntamentos do curso de matemáticas da Universidade de Bath
Aquí, o "" representa o produto escalar en .
Notas
Véxase tamén
Categoría:Cálculo vectorial Categoría:Vectores Categoría:Mecánica Categoría:Electromagnetismo Categoría:Teoremas