En matemáticas, particularmente en álxebra abstracta, un peche alxébrico dun corpo K é unha extensión alxébrica de K que é alxebraicamente pechado. É un dos moitos pechamentos en matemáticas.
Usando o lema de Zorn ou o lema máis débil de ultrafiltro, pódese demostrar que todo corpo ten un peche alxébrico e que o peche alxébrico dun corpo K é único ata un isomorfismo que fixa todo membro de K. Debido a esta singularidade esencial, a miúdo falamos do peche alxébrico de K, máis que dun peche alxébrico de K.
O peche alxébrico dun campo K pódese pensar como a maior extensión alxébrica de K.
O peche alxébrico dun corpo K ten a mesma cardinalidade que K se K é infinito, e é infinita numerábel se K é finito.
Exemplos
O teorema fundamental da álxebra afirma que o peche alxébrico do corpo dos números reais é o corpo dos complexos. O peche alxébrico do corpo dos números racionais é o corpo dos números alxébricos. Dentro dos números complexos hai moitos corpo numerábeis alxébricamente pechados e que conteñen estritamente o corpo dos números alxébricos; estes son os peches alxébricos de extensións transcendentais dos números racionais, por exemplo, o peche alxébrico de Q(π). Para un corpo finito de orde de potencia prima q, o peche alxébrico é un corpo infinito numerábel que contén unha copia do corpo de orde qn para cada número enteiro positivo n (e de feito é a unión destas copias)..
Existencia dun peche alxébrico e corpos de descomposición Sexa o conxunto de todos os polinomios irredutíbeis mónicos en K [x]. Para cada , introducimos novas variábeis onde . Sexa R o anel polinómico sobre K xerado por para todos os e todo . Escribimos
con .
Sexa I o ideal en R xerado polo . Dado que I é estritamente menor que R, o lema de Zorn implica que existe un M ideal máximal en R que contén I.
O corpo K1 = R / M ten a propiedade de que todo polinomio con coeficientes en K descomponse como produto de e polo tanto ten todas as raíces en K1.
Do mesmo xeito, pódese construír unha extensión K2 de K1, etc. A unión de todas estas extensións é o peche alxébrico de K, porque calquera polinomio con coeficientes neste novo corpo ten os seus coeficientes nalgún Kn con n suficientemente grande, e entón as súas raíces están en Kn +1 e, polo tanto, na propia unión.
Pódese mostrar nas mesmas liñas que para calquera subconxunto S de K [x], existe un corpo de descomposición de S sobre K.
Peche separábel Un peche alxébrico Kalg de K contén unha extensión separábel única Ksep de K que contén todas as extensións separábeis (alxébricas) de K dentro de Kalg.
Esta subextensión chámase peche separábel de K. Dado que unha extensión separábel dunha extensión separábel é de novo separébel, non hai extensións separábeis finitas de Ksep, de grao > 1. Dicindo isto doutro xeito, K está contida nun corpo de extensión alxébrica separadamente pechado. É único (ata isomorfismo).
O peche separábel é o peche alxébrico completo se e só se K é un corpo perfecto. Por exemplo, se K é un corpo de característica p e se X é transcendental sobre K, é unha extensión de corpo alxébrico non separábel.
En xeral, o grupo de Galois absoluto de K é o grupo de Galois de Ksep sobre K.
Notas
Véxase tamén Bibliografía
Outros artigos Extensión alxébrica Pechamento Elemento alxébrico
Categoría:Teoría de corpos