En álxebra linear, o produto externo de dous vectores de coordenadas é a matriz cuxas entradas son tódolos produtos dun elemento no primeiro vector cun elemento no segundo vector. Se os dous vectores de coordenadas teñen dimensións n e m, entón o seu produto externo é unha matriz n × m.
De forma máis xeral, dados dous tensores (matrices multidimensionais de números), o seu produto externo é un tensor. O produto externo dos tensores tamén se refire como o seu produto tensor, e pódese usar para definir a álxebra tensorial.
O produto externo contrasta con:
O produto escalar (un caso especial de "produto interno"), que toma un par de vectores de coordenadas como entrada e produce un escalar O produto Kronecker, que toma un par de matrices como entrada e produce unha matriz de bloques Multiplicación matricial estándar O produto exterior con características similares ao produto vectorial
Definición Dados dous vectores de tamaño e respectivamente
o seu produto externo, denotado como defínese como a matriz obtida multiplicando cada elemento de por cada elemento de
Ou en notación de índice:
Indicando o produto puntual por se se dá un terceiro vector entón Se se dá un terceiro vector entón
Se e son vectores da mesma dimensión maiores que 1, entón .
O produto externo é equivalente a unha multiplicación matricial sempre que se represente como un vector columna e como un vector columna (que fai un vector fila). Por exemplo, se e entón
Para vectores complexos, adoita ser útil tomar a transposta conxugada de denotada como ou :
Contraste co produto escalar euclidiano Se entón pódese tomar o produto da matriz do outro lado, obtendo un escalar (ou matriz ):
O produto externo de tensores Dados dous tensores con dimensións e , o seu produto externo é un tensor con dimensións e entradas
Por exemplo, se é de orde 3 con dimensións e é de orde 2 con dimensións entón o seu produto externo é de orde 5 con dimensións Se ten unha compoñente e ten unha compoñente , entón a compoñente de formado polo produto externo é .
Conexión co produto de Kronecker O produto externo e o produto de Kronecker están intimamente relacionados; de feito o mesmo símbolo utilízase habitualmente para designar ambas as operacións.
Se e , temos:
No caso dos vectores columna, o produto de Kronecker pódese ver como unha forma de vectorización (ou aplanamento) do produto externo. En particular, para vectores de dúas columnas e , podemos escribir:
Outra identidade semellante que destaca aínda máis a semellanza entre as operacións é
onde non é necesario inverter a orde dos vectores. A expresión do medio usa a multiplicación matricial, onde os vectores son considerados como matrices columna/fila.
Conexión co produto matricial Dado un par de matrices de tamaño e de tamaño , considere o produto matricial definido como é habitual como unha matriz de tamaño .
Agora sexa o -ésimo vector columna de e sexa o -ésimo vector fila de . Daquela pódese expresar como unha suma de produtos externos columna por fila:
Propiedades O produto externo dos vectores cumpre as seguintes propiedades:
O produto externo dos tensores satisfai a propiedade de asociatividade adicional:
Aplicacións Como o produto externo está moi relacionado co produto Kronecker, algunhas das aplicacións do produto Kronecker usan produtos externos. Estas aplicacións atópanse na teoría cuántica, procesamento de sinais e compresión de imaxes.
Espinores (Spinors) Supoña de xeito que e estean en . Entón o produto externo destes 2 vectores complexos é un elemento de , como matrices complexas 2 × 2:
O determinante desta matriz é debido á propiedade conmutativa de .
Na teoría dos espinores en tres dimensións, estas matrices están asociadas con vectores isótropos debido a esta propiedade nula.
Élie Cartan describiu esta construción en 1937, mais foi introducida por Wolfgang Pauli en 1927 Pertti Lounesto (1997) Clifford Algebras and Spinors, page 51, Cambridge University Press polo que pasou a chamarse álxebra de Pauli.
Notas
Véxase tamén
Bibliografía
Outros artigos
Álxebra exterior Produto de Kronecker Produto de matrices
Categoría:Álxebra lineal Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas