En matemáticas, o teorema multinomial describe como expandir unha potencia dunha suma en termos de potencias dos termos desa suma. É a xeneralización do teorema binomial de binomios a multinomios.
Teorema Para calquera enteiro positivo e calquera enteiro non negativo , o teorema multinomial describe como se expande unha suma con termos cando se eleva á potencia -ésima:
onde
é un coeficiente multinomial. A suma tómase sobre todas as combinacións de índices enteiros non negativos a de tal forma que a suma de todos os é . É dicir, para cada termo da expansión, os expoñentes dos deben sumar .
No caso , esta afirmación redúcese á do teorema binomial.
Exemplo A terceira potencia do trinomio vén dada por
Isto pódese calcular a man usando a propiedade distributiva da multiplicación sobre a suma e combinando termos similares, mais tamén se pode facer (quizais máis facilmente) co teorema multinomial. É posíbel "ler" os coeficientes multinomiais dos termos usando a fórmula do coeficiente multinomial. Por exemplo, o termo ten por coeficiente , o termo ten por coeficiente , e do mesmo xeito para o resto.
Expresión alternativa O enunciado do teorema pódese escribir concisamente usando multiíndices:
onde
e
Coeficientes multinomiais Os números
que aparecen no teorema son os coeficientes multinomiais. Pódense expresar de moitas maneiras, incluíndo como produto de coeficientes binomiais ou de factoriais:
Interpretacións
Formas de poñer obxectos en caixas Os coeficientes multinomiais teñen unha interpretación combinatoria directa, como o número de formas de depositar obxectos distintos en caixas distintas, con obxectos na primeira caixa, obxectos na segunda caixa, etc.
Número de permutacións únicas de palabras miniatura| Coeficiente multinomial como produto de coeficientes binomiais, contando as permutacións das letras de MISSISSIPPI. O coeficiente multinomial
é tamén o número de formas distintas de permutar un multiconxunto de elementos, onde é a multiplicidade de cada un dos -ésimo elementos. Por exemplo, o número de permutacións distintas das letras da palabra MISSISSIPPI, que ten 1 M, 4 Is, 4 Ss e 2 Ps, é
Triángulo de Pascal xeneralizado Pódese usar o teorema multinomial para xeneralizar o triángulo de Pascal ou a pirámide de Pascal no simplex de Pascal. Isto proporciona un xeito rápido de xerar unha táboa de bprocura de coeficientes multinomiais. Notas
Véxase tamén
Outros artigos Distribución multinomial Bólas e trazos Ligazóns externas
Categoría:Combinatoria Categoría:Teoremas