Na teoría dos números, o teorema da norma de Hasse indica que se L/K é unha extensión cíclica de corpos numéricos, entón se un elemento distinto de cero de K é unha norma local en todas as partes, entón é unha norma global. Aquí ser unha norma global significa ser un elemento k de K tal que hai un elemento l de L con ; noutras palabras k é unha norma relativa dalgún elemento do corpo de extensión L. Ser unha norma local significa que para algún primo p de K e algún primo P de L sobre K, entón k é unha norma de LP; aquí o "primo" p pode ser unha valoración arquimedeana, e o teorema é unha afirmación sobre os completamentos en todas as valoracións, arquimedeanas e non arquímedes.

O teorema non é certo en xeral se a extensión é abeliana mais non cíclica. Hasse deu o contraexemplo de que 3 é unha norma local en todas as partes para a extensión mais non é unha norma global. Serre e Tate demostraron que outro contraexemplo vén dado polo corpo onde cada cadrado racional é unha norma local en todas as partes mais non é unha norma global.

Este é un exemplo dun teorema que estabelece un principio local-global.

O teorema completo débese a . O caso especial cando o grao n da extensión é 2 foi probado por , e o caso especial cando n é primo foi demostrado por Furtwangler en 1902.

O teorema da norma de Hasse pódese deducir do teorema de que un elemento do grupo de cohomoloxía de Galois H2(L/K) é trivial se é trivial localmente en todas as partes, o que á súa vez é equivalente ao teorema profundo de que a primeira cohomoloxía do grupo de clases ideles desaparece. Isto é certo para todas as extensións finitas de Galois de corpos numéricos, non só para as cíclicas. Para extensións cíclicas o grupo H2(L/K) é isomorfo ao grupo de cohomoloxía de Tate H0( L/K) que describe que elementos son normas, polo que para as extensións cíclicas convértese no teorema de Hasse de que un elemento é unha norma se é unha norma local en todas as partes. Notas

Véxase tamén

Bibliografía

H. Hasse, "A history of class field theory", in J.W.S. Cassels and A. Frohlich (edd), Algebraic number theory, Academic Press, 1973. Chap.XI. G. Janusz, Algebraic number fields, Academic Press, 1973. Theorem V.4.5, p. 156

Outros artigos Lema de Hensel. Principio local-global.