En álxebra, unha unidade ou elemento invertíbel dun anel é un elemento invertíbel para a multiplicación do anel. É dicir, un elemento dun anel é unha unidade se existe en tal que
onde é a identidade multiplicativa; o elemento é único para esta propiedade e chámase inverso multiplicativo de . O conxunto de unidades de forma un grupo baixo a multiplicación, chamado grupo de unidades ou grupo de unidades de . Outras notacións para o grupo de unidades son , .
Exemplos A identidade multiplicativa e a súa inversa aditiva son sempre unidades. De xeito máis xeral, calquera raíz da unidade nun anel é unha unidade: se , entón é un inverso multiplicativo de . Nun anel distinto de cero, o elemento 0 non é unha unidade, polo que non é pechado baixo a suma. Un anel distinto de cero no que cada elemento distinto de cero é unha unidade (é dicir, ) chámase anel de división (ou corpo non conmutativo). Un anel de división conmutativo chámase corpo. Por exemplo, o grupo de unidade do corpo dos números reais é (todos os números agás o cero).
Anel de enteiros No anel de enteiros , as únicas unidades son e .
No anel de enteiros módulo , as unidades son as clases de congruencia representadas por enteiros coprimos a . Constitúen o grupo multiplicativo de números enteiros módulo .
Anel de números enteiros dun corpo numérico No anel obtido ao estender co enteiro cadrático , temos , polo que é unha unidade, e tamén o son as súas potencias, polo que ten infinitas unidades.
De xeito máis xeral, para o anel de enteiros nun corpo numérico , o teorema das unidades de Dirichlet afirma que é isomorfo ao grupo
onde é o grupo (finito, cíclico) de raíces da unidade en , e é o rango do grupo de unidades, con valor
onde son o número de mergullos reais e o número de pares de mergullos complexos de , respectivamente.
Relacionando esta fórmula co exemplo : o grupo de unidades dun (o anel de enteiros dun) corpo cadrático real é infinito de rango 2, xa que .
Polinomios e series formais de potencias Para un anel conmutativo , as unidades do anel de polinomios son os polinomios
tal que é unha unidade en e os restantes coeficientes son nilpotentes, é dicir, satisfán para algún . En particular, se é un dominio, entón as unidades de son as unidades de . As unidades do anel da serie formal de potencias son as series formais de potencias
tal que é unha unidade en .
Aneis de matrices O grupo de unidades do anel de matrices sobre un anel é o grupo de matrices invertíbeis. Para un anel conmutativo , un elemento de é invertíbel se e só se o determinante de é invertíbel en . Nese caso, pódese dar explicitamente en termos da matriz adxunta.
En xeral Para os elementos e nun anel , se é invertíbel, entón ten inverso ; esta fórmula pódese intuir, mais non demostrar, mediante o seguinte cálculo nun anel de series formais de potencias non conmutativas: Consulte a identidade de Hua para ver resultados similares.
Grupo das unidades Un anel conmutativo é un anel local se é un ideal máximal.
Como pode verse, se é un ideal, entón é necesariamente un ideal máximal e é local xa que un ideal máximal é disxunto de .
Se é un corpo finito, entón é un grupo cíclico de orde .
Todo homomorfismo de aneis induce un homomorfismo de grupos , xa que mapea unidades en unidades. De feito, a formación do grupo de unidades define un functor dende a categoría de aneis ata a categoría de grupos.
O esquema do grupo é isomorfo ao esquema de grupos multiplicativos sobre calquera base, polo que para calquera anel conmutativo , os grupos e son canonicamente isomorfos a . Teña en conta que o functor (é dicir, ) é representábel no sentido: para aneis conmutativos . Explicitamente, isto significa que hai unha bixección natural entre o conxunto dos homomorfismos do anel e o conxunto de elementos unidade de (en contraste, representa o grupo aditivo , o functor desmontaxe da categoría de aneis conmutativos á categoría dos grupos abelianos).
Elemento asociado Supoña que é conmutativo. Os elementos e de chámanse asociados se existe unha unidade en tal que ; escrito . En calquera anel, os pares de elementos inversos aditivos e son ou están asociados, xa que calquera anel inclúe a unidade . Por exemplo, 6 e −6 están asociados en . En xeral, é unha relación de equivalencia en .
A asociación tamén se pode describir en termos da acción de en mediante multiplicación: Dous elementos de están asociados se están na mesma -órbita.
Nun dominio de integridade, o conxunto de asociados dun determinado elemento distinto de cero ten a mesma cardinalidade que .
A relación de equivalencia pódese ver como calquera das Relacións de semigrupo de Green especializada no semigrupo multiplicativo dun anel conmutativo .
Notas
Referencias
Véxase tamén Bibliografía
Outros artigos Anel (álxebra) Localización (álxebra conmutativa) Inverso multiplicativo modular
Categoría:Teoría de aneis Categoría:Teoría de grupos Categoría:Teoría de números alxébricos Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas